C~n中实子流形上的拟共形映射与CR映射

【摘要】： 本文主要研究Carnot群和Carnot-Caratheodory空间上的拟共形映射以及C~n中实子流形上的局部全纯自同构。我们主要讨论的问题是Carnot群和Carnot-Caratheodory空间上的1-拟共形映射的刚性,以及C~n中实子流形上的实解析无穷小CR自同构及局部全纯自同构的表达式。 第一章介绍了Liouville定理、拟共形映射以及实子流形的全纯自同构的历史背景和研究的近现状,并介绍了本文所涉及的一些概念及主要结论。 第二章研究了两类Carnot群上的拟共形映射:(2,2)-型二次曲面Q_0(等价于一个二步Carnot群)及Engel群G。通过求其上拟共形映射所满足的Beltrami方程,证得Q_0及G上的1-拟共形映射为CR或反CR映射,由此决定了Q_0上1-拟共形映射群的包含恒等变换的连通分支,以及G与G之间的1-拟共形映射群。 第三章研究了一类特殊的Carnot-Caratheodory空间—C~(n+1)中光滑的强拟凸超曲面—上的拟共形映射,利用该超曲面上每点附近的CR结构可以用局部Heisenberg群的CR结构逼近,证明了C~(n+1)中光滑的强拟凸超曲面上定向保持或反定向的拟共形映射几乎处处满足Beltrami方程组。特别地,该类超曲面上的1-拟共形映射为几乎处处CR或反CR的。更进一步,如果这类超曲面还是实解析和非球面的,则其上保持一点的光滑1-拟共形映射可以线性化。 第四章通过解幂级数方程,分别得到C~(N+1)中一类非齐刚性超曲面Γ_1及C~3中一类拟凸超曲面Γ_2上定义在原点邻域内的实解析无穷小CR自同构。并分别得到Γ_1上定义在原点附近的局部全纯自同构集包含恒等变换的连通分支,以及Γ_2的原点处稳定群的单位连通分支。