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几类算子的有界性及相关问题的研究

张艳丹  
【摘要】: 调和分析形成于18世纪,经历了200多年的发展,已成为数学的一个核心学科。它主要涉及球调和函数理论,位势理论,奇异积分以及一般可微函数空间等,其中各类算子的有界性一直以来都是调和分析研究的中心问题之一。 本学位论文主要致力于调和分析中奇异积分算子,交换子和拟微分算子等主要算子的有界性及相关问题的研究。全文共分为四章:第一章主要探讨两类沿曲面的奇异积分算子在齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性;第二章用Sharp函数的技术,得到了向量值的极大积分算子及极大积分交换子的加权有界性,其中权函数没有任何附加条件;第三章研究了与Monge-Ampere方程有关的算子的有界性;第四章证明了一些非卷积算子从欧式空间到环面上的转移定理,并通过它得到了一些有用的结果。以下是各章的主要内容: 第一章设S~(n-1)是R~n(n≥2)的单位球面,Ω(y')是零次齐次函数,而且Ω(y')∈L~1(S~(n-1))。本章都假设其中dσ表示单位球面上的面积元。A.P.Calderon和A.Zygmund[19]于上世纪五十年代定义并研究了奇异积分算子他们[20]用旋转法证明了:若Ω∈L ln~+ L(S~(n-1)),则算子T是L~P(R~n)有界的,1<p<∞。此外,T可以延拓为一个L~2(R~n)上的有界算子当且仅当其中(?)(ξ)=(?)f(x)e~(-2πix·ξ)∈dx,f∈L~1(R~n)。简单的计算发现,Ω∈L ln~+ L(S~(n-1))满足(0.0.3)。1979年,Ricci和Weiss[61]给出了球面Hardy空间H~1(S~(n-1))的刻画并应用Calderon-Zygmund的旋转法证明了:若Ω∈H~1(S~(n-1)),则算子T是L~P(R~n)有界的,1<p<∞,也可参看文献[14]。由于其中r>1,而且每个包含关系都是严格的,所以[61]的工作改进了[20]的结果。1998年,Grafakos和Stefanov[36]又找到了算子T有界的另一类充分条件,即满足(0.0.1)和的核函数,以下简记为F_β(S~(n-1))。利用H(?)lder不等式,容易得出如下的包含关系:当β_1>β_2>0,F_(β_1)(?)F_(β_2)。而且对任一r>1,L~r(S~(n-1))(?)F_β(S~(n-1))。Grafakos和Stefanov[36]还举例说明以下事实:∩_(β>1)F_β(S~(n-1))(?)H~1(S~(n-1))(?)∩_(β>1)F_β(S~(n-1))。他们应用文[26]的Littlewood-Paley分解的思想证明:若Ω∈F_β(S~(n-1)),则T是L~p(R~n)有界的,(?)<p<β+1。事实上可以把p的范围拓宽到(?)<p<2β,可参考文献[28]。但是端点处的情形,至今还不清楚。 本章主要考虑核函数Ω属于F_β(S~(n-1))时,更广的两类奇异积分算子的有界性。一类是其中b是一个径向有界函数,Γ是使得上述定义有意义的适当函数。当Γ(t)=t,记T_(Ω,Γ,b)=T_(Ω,b)。当b(t)≡1,记T_(Ω,Γ,b)=T_(Ω,Γ)。当Γ(t)=t,T_(Ω,Γ)就是前面定义的奇异积分算子T。Qassem[4]考虑了T_(Ω,Γ)并证明了以下的定理。 定理A设Ω∈F_β(S~(n-1)),β>1。若Γ是非负,严格单调函数,且满足下面两个条件:(1)|Γ'(t)|≥C|Γ(t)|/t,(2)对所有的t>0,当Γ是增函数时,λΓ(t)≤Γ(2t)≤CΓ(t);当Γ是减函数时,λΓ(2t)≤Γ(t)≤CΓ(2t),其中C≥A>1,则T_(Ω,Γ)是空间L~p(R~n)上的有界算子,p∈((?),2β)。 另一类是其中γ是使得上述定义有意义的适当函数。潘,唐和杨[59]研究了算子T_(Ω,γ)并证明了下面的定理。 定理B设Ω∈F_β(S~(n-1)),β>1。若γ是一个C~1函数,γ的导函数是凸的增函数,且满足γ(0)=γ'(0)=0,则T_(Ω,γ)是空间L~p(R~(n+1))上的有界算子,p∈((?),2β)。 随后,文[23]的作者修改了γ的条件得到了下面的定理。 定理C设Ω∈F_β(S~(n-1)),β>1。若γ是一个多项式,而且满足γ'(0)=0,则存在常数C使得其中p∈((?),2β)。而且当n=2,去掉条件γ'(0)=0,定理仍然成立。 本章有两个目的。一方面,研究了式(0.0.5)和(0.0.6)定义的两类奇异积分算子在更一般的齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性。另一方面,除了定理B和定理C中的γ满足的条件,还考虑了与下面定义有关的另一类条件。 定义1.1.1我们说定义在R~+的一个C~1实函数φ满足条件D,是指假如φ是恒正或者恒负,严格单调,且满足(1)|φ'(t)|≥C|φ(y)|/t,(2)对所有的t>0,当φ是增函数时,φ(2t)≤C_φ(t);当φ是减函数时,φ(t)≤C_φ(2t)。 应当提出的是本章考虑的两类算子已经不是通常意义下的卷积算子。本章这两类算子归结为一列(广义)测度卷积和的统一形式,结合[26]中Littlewood-Paley分解和[38]中向量值不等式的思想得到了一个有用的判别定理。应用这个判别定理证明了本章的主要结果。记F_∞(S~(n-1))=∩_(β>1)F_β(S~(n-1))。本章的主要结果是: 定理1.1.1设1<p,q<∞,α∈R,Ω∈F_∞(S~(n-1))。假设满足下面的条件之一(Ⅰ)Γ是一个C~1严格单调增的凸函数,且Γ(0)=0;(Ⅱ)Γ满足定理A的条件,那么T_(Ω,Γ)可延拓为(?)(R~n)有界的算子。 定理1.1.2设1<p,q<∞,α∈R,Ω∈F_∞(S~(n-1))。假设满足下面的条件之一:(Ⅰ)γ和γ的导函数都满足条件D,且γ的二阶导函数是单调的;(Ⅱ)γ满足定理B或者定理C的条件,那么T_(Ω,γ)可延拓为(?)(R~(n+1))有界的算子。 此外,若取径向有界函数b(|y|)为e~(iγ(|y|)),则此时T_(Ω,b)即是文献[62]所考虑的一类振荡积分型算子。它有如下的有界性。 定理1.1.3设Ω∈F_∞(S~(n-1))。若γ的导函数满足条件D,且γ的二阶导函数是单调的,则T_(Ω,b)可延拓为(?)(R~n)有界的算子,其中1<p,q<∞,α∈R。 注0.0.1当α=0,q=2和1<p<∞时,(?)(R~n)等同于一般的L~p函数。当Ω∈F_∞(S~(n-1)),定理1.1.1和定理1.1.2分别推广了定理A,定理B及定理D的结果。此外,即使在L~p空间,定理1.1.3的结果也是新的。 第二章定义在R~n×R~n\△(△={(x,x),x∈R~n})的函数k称为标准核,是指k满足下面条件:和算子T为带有标准核k的Calderon-Zygmund算子。相应的极大算子定义为其中k_ε(x)=k(x)_(χ{|x|>ε})(x),f是有紧支集的有界函数。众所周知,T和T~*都是(p,p)有界的,1<p<∞和弱(1,1)有界的([25],P99)。本章只考虑k(x,y)=k(x-y)和δ=1时的情形。 1976年,Coifman,Rochberg和Weiss [17]利用交换子给出BMO空间(有界平均振动函数空间)的一个刻画。对合适的f和b,m(m≥1)阶交换子T_b~m定义为其中T_b~1f(x)=b(Tf)(x)-T(bf)(x)。和奇异积分的经典理论不同,Perez[52]给出了一个简单的反例说明交换子T_b~1不是弱(1,1)有界的,其中b∈BMO。事实上,Perez用Sharp函数的技术得到了一个L log L型不等式:对任给的λ>0,都有其中φ(t)=t(1+log~+t)。随后,Perez[54]用同样的技术研究了算子T_b~m的强型加权模不等式。Perez和Pradolini[55]应用经典的Calderon-Zygmund分解理论,得到了端点情形的加权估计。 本章讨论Calderon-Zygmund算子及其交换子的极大情形。更一般地,定义向量值极大算子以及相应的向量值极大交换子其中f={f_j}_(j=1)~∞是有紧支集的有界函数列,每个b_i为局部可积的函数。特别地,当f_i≡0(i≥2),算子T_q~*即为前面定义的T~*;当b_1=b_2=…=b_m=b,f_i≡0,i≥2,算子[(?),T]_q~*即为T_b~m的极大情形。当m=1时,T_b~m简记为T_b~*。在文[46]中,李,胡和施应用Sharp函数的技术和范数对偶的思想得到T~*和T_b~*加权模不等式。应当指出的是本章考虑的两类算子都不是线性的,而且计算比较复杂,因此增加了论证的难度。本章主要在[55],[56]和[57]的基础上再结合[46]的思想,以及某些技术上的处理,得到以下主要结果: 定理2.1.1设1<p,q<∞,δ>0,且b_k∈BMO(R~n),1≤k≤m。那么存在常数C使得对任意非负局部可积的函数w,都有和其中‖(?)‖=(?)‖b_k‖_(BMO),M_(L(log L)~α)是一类极大函数(见本章第二节)。 定理2.1.2设1<q<∞,δ>0,且b_k∈BMO(R~n),1≤k≤m。那么存在常数C使得对λ>0及任意非负局部可积函数w,都有和其中φ_m(t)=t(1+log~+ t)~m。 注0.0.2当f_i≡0(i≥2),且m=1,定理2.1.1和定理2.1.2即为文[46]的结果。 第三章设凸的有界开集族F={S(x,t):x∈R~n,t>0}是片断(sections),由此定义一个二元函数可以验证d是一个拟距离,见本章第一节。设μ是一个正的Radon测度,满足μ(R~n)=+∞,且对任意的S(x,t)∈F,μ(S(x,2t))≤C_μ(S(x,t))。 1997年,Caffarelli和Gutierrez[10]研究了如下形式的算子其中核函数与上述片断有关,见本章第一小节。他们证明了H在空间L~2(dμ)是有界的。随后,Incognito[42]证明了核函数k(x,y)满足H(?)rmander条件,应用齐型空间的Calder(?)n-Zgmund分解,得到H是弱(1,1)有界的。近来,唐[68]考虑了H以及相应的交换子H_b f=b(Hf)-H(bf),b∈BMO,得到如下定理。 定理D设b∈BMO,w∈A_1。那么对有紧支集的有界函数f,有下面两个不等式成立:和其中φ(t)=t(1+log~+ t)。 本章考虑H及H_b的极大情形。定义H的极大算子以及相应的极大交换子文[41]中,作者证明了H~*是弱(1,1)有界的。本章考虑上述两类算子的加权有界性。应当提出的是:Alphonse[3]研究了带标准核的Calderon-Zygmund算子的极大交换子的有界性,其处理方法在这里已经失效。本章通过对核函数k(x,y)进行更精确的估计,得到一个Cotlor型不等式证明主要结果。主要结果表述如下: 定理3.1.1设b∈Osc_(exp L~q),q≥1,w∈A_1。那么对有紧支集的有界函数f,有下面不等式成立:其中Osc_(exp L~q)是另外一种振动函数空间,q=1时与通常意义下的BMO空间是范数等价的,见本章第二节。 定理3.1.2设b∈Osc_(exp L~q),q≥1,w∈A_1。那么对有紧支集的有界函数f,有下面不等式成立:其中φ(t)=t(1+log~+ t)~(1/q)。 注0.0.3注意到q趋于时,定理3.1.2中不等式右边接近L~1的加权模。 注0.0.4 q=1时,我们的结果可以推出定理D。 第四章设λ是R~n上的L~∞函数。对正数ε,定义符号为λ(εξ)的乘子算子相应地,定义另一个乘子算子其中g∈C~∞(T~n),(?) a_ke~(2πix·k)为周期函数g的傅立叶级数,T~n是n维环面,它同构于R~n/(?)((?)是R~n中有整数坐标的点的全体),见[66]。当ε=1,记T_ε=T。Deleeuw定理[24]表明了上述两类算子的L~p有界性之间的联系: 定理E设λ是一个L~∞(R~n)的连续函数,1≤p≤∞,那么下面两个结论是等价的:(Ⅰ)T是L~p(R~n)有界的;(Ⅱ)(?)是L~p(T~n)有界的,而且算子范数与ε>0是无关的。 1993年,刘和陆[47]将上述Deleeuw型定理推广到H~p(Hardy空间),0<p≤1。另一方面,范和Sato[31]证明了多线性乘子算子的Deleeuw型定理,并应用这一结论把Lacey和Thiele[48]关于双线性Hilbert变换的一个定理推广到了环面上。这个定理还可推广到许多不同的函数空间以及其它算子,见[1],[27],[9],[44]及[45]。 注意到乘子算子是卷积型算子,但是调和分析中许多重要的算子却不是这种类型。在非卷积型算子中,较为常见的两类是交换子以及拟微分算子其中f是有紧支集的有界函数,b∈BMO,m(x,·)∈L~∞(R~n),T_ε为前面定义的乘子算子,且是L~p(R~n)有界的。上述两类算子在R~n上得到了很丰富的结果,见[21],[39]和[12]。一个自然的问题是:对这两类算子,是否可以得到类似定理E的结论,使R~n上的已知结果可以转移到T~n上?本章对此作了回答,结果如下: 定理4.1.1设1≤p≤∞,λ∈L~∞∩C(R~n),ε>0。若算子T_ε是L~p(R~n)有界的,且对任意f∈L~p及b∈BMO有那么其中(?)(g)(x)=b(x)(?)(g)(x)-(?)(gb)(x),b∈BMO是一个周期函数。 注0.0.5本定理可推广到更广的两类交换子,见本章第二节。 定理4.1.2设1≤p≤∞,m(x,ξ)关于x一致满足m(x,·)∈L~∞∩C(R~n)。若算子P是L~p(R~n)有界的,则有其中(?)(g)(x)=(?)m(x,k)a_ke~(2πix·k),m对第一个变量是周期的。 注0.0.6本定理可推广到算子P的交换子,见本章第三节。 回忆α阶的Bochner-Reisz平均算子B_ε~α,它是一个符号为m_α(ξ)=(1-|εξ|~2)_+~α的乘子算子。它的交换子定义为B_(b,ε)~α(f)(x)=b(x)B_ε~α(f)(x)-B_ε~α(fb)(x)。对算子B_(b,ε)~α,胡和陆[39]得到了R~n上的有界性,直接应用定理4.1.1得到下面两个定理。 定理4.4.1设0<α<1/2,1<p<∞。那么对(?)<p<(?),存在与ε无关的常数C使得其中(?)(g)(x)=b(x)(?)(g)(x)-(?)(gb)(x),b∈BMO是一个周期函数。 定理4.4.2设n≥3,(?)<α<(?),(?)<p<(?)。那么存在与ε无关的常数C使得其中(?)如定理4.4.1中定义,b∈BMO是一个周期函数。 同样地,应用定理4.1.2及它的推广定理分别到文[21]和[23]中得到T~n上相应的结果,见本章第四节。


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