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几类算子在乘积空间上的有界性

王慧  
【摘要】: 自二十世纪五十年代,Calderon和Zygumund[7]开创奇异积分算子理论(C-Z算子)以来,对于奇异积分算子在各个函数空间上有界性的研究一直是经典调和分析的中心问题之一。本学位论文也将围绕这一问题,主要致力于研究一些奇异积分算子在各种乘积空间上的有界性。全文共分五章。 本文的第一章作为全文的准备工作,分为两个小节。第一节首先简要回顾一下Muckenhoupt权和Duoandikoetxea径向权的定义及性质,然后介绍Muckenhoupt权在乘积空间R~n×R~m上的几个等价定义和性质,最后在空间R~n×R~m上引入一类径向权,并进一步讨论它的性质。第二节主要阐述下文中需要的一些基本函数空间及其性质。 第二章主要讨论粗糙的强奇异积分T_(Ω,α,β)(α,β≥0),分数次积分算子和Littlewood-Paley函数在乘积Triebel-Lizorkin空间上的有界性。 首先设S~(N-1)(N=n或者m)是R~N(N≥2)中的单位球面,其上测度为dσ=dσ(·)。对于任意非零的z∈R~N,我们定义z'=(?)。粗糙的强奇异积分算子T_(Ω,α)及其极大算子T_(Ω,α)~*定义为对于所有的f∈S(R~n)(速降函数空间)。其中b是一径向的L~∞函数,Ω∈L~1(S~(n-1))是零次齐次函数,且满足消失性条件其中Y_k是次数k≤[α]的球面调和多项式。 1969年,Wheeden[90]首先研究得到0<α<2,b≡1,Ω∈L~1(S~(n-1))∩(0.0.3)时,T_(Ω,α)是((?),L~p)和弱((?),L~1)有界的,其中(?)是齐次Sobolev空间。2003年,Chen,Fan和Ying[19]考虑T_(Ω,α),T_(Ω,l)~*(l是整数)在α>0的情形,证明了下述定理: 定理0.0.1设1<p<∞,(?)=max{p,p/(p-1)}。若Ω∈H~r(S~(n-1)),r=(n-1)/(n-1+α)且满足消失性条件(0.0.3),其中Y_k的次数k≤N,2(N+1)>α(?),则存在与f无关的常数C>0,使得 随后,文献[11,25]的作者都去掉了α=l的限制,并减弱了定理0.0.1中Ω的消失性,只要求Ω的消失性满足条件(0.0.3)。[24]中进一步讨论了此算子的加权有界性。与此同时在文献[18]中,Chen,Fan和Ying还研究了算子T_(Ω,α)在齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性,得到如下定理: 定理0.0.2设1<q,p<∞,(?)=max{p,p/(p-1)),(?)=max{q,q/(q-1)},α>0。若Ω∈H~r(S~(n-1)),r=(n-1)/(n-1+α)且满足消失性条件(0.0.3),其中Y_k的次数k≤N,4(N+1)>α(?)。则存在与f无关的常数C>0,使得 粗糙的强奇异积分算子T_(Ω,α,β)(α,β≥0)在乘积空间R~n×R~m上定义为对于所有的f∈S(R~n×R~m),其中b是一径向的L~∞函数,Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1))且满足这里γ_1,γ_2是多重指标,K和J是某个整数。特别地,当α=0(β=0)时,K=0(J=0)。 当α=β=0时,我们把T_(Ω,α,β)简记为T_Ω,即为通常乘积空间上的奇异积分算子。1982年,Fefferman和Stein[51]用平方函数的方法证明当b≡1,核Ω满足一定光滑性和消失性时,T_Ω在L~p(R~n×R~m)上有界,其中1<p<∞。1986年,Duoandikoetea和Rubio De Francia[43]用Fourier估计结合Littlewood-Paley理论的方法证明在b∈△_2,Ω∈L~r(S~(n-1)×S~(m-1))∩(0.0.5),r>1的条件下上述结论成立。2002年,Chen[13]用旋转法将核条件减弱为Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×S~(m-1))。2006年,Al-Salman等在[4]中用不同的方法得到此结果。期间,许多作者都深入研究了这一问题,改进推广了核的条件,可以参考文献[22,34,35,92,97,99]等。Wang[86]则将Chen的结果推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间(?)。对于α,β≥0的情况,Chen在其博士论文[24]中研究得到了如下定理: 定理0.0.3设1<p<∞,(?)=max{p,p/(p-1)},b∈L~∞(R_+~1×R_+~1)。设Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×S~(m-1))且满足条件(0.0.5),其中4(K+1)>α(?),4(J+1)>β(?)。则存在与f无关的常数C>0,使得 本章还将研究两类算子。设0<α<n,0<β<m,粗糙的分数次积分算子F_(Ω,α,β)在乘积空间R~n×R~m上定义为对于所有的f∈S(R~n×R~m),其中b∈L~∞(R_+~1×R_+~1),Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1))。 设σ∈L~1(R~n×R~m),可以定义σ_(s,t)(x,y)=2~(-sn-tm)σ(?)。σ_(s,t)的Fourier变换表示为(?)(ξ,η)=(?)(2~sξ,2~tη)。Littlewood-Paley g函数g(f)在乘积空间上定义为对于所有的f∈S(R~n×R~m),其中F_(s,t)(f)(x,y)=σ_(s,t)*f(x,y)。对于任意实数α,β,我们定义 文献[18]证明了R~n中上述两类算子(单变量情形)在齐次的Triebel-Lizorkin空间上的有界性。利用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论的相结合的方法,本章将把奇异积分算子T_(Ω,α,β)的有界性推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间中。利用文献[12,96]中的思想,我们同时减弱了[24]中Ω的消失性条件。使用同样的方法,也得到上述两类算子在此空间的有界性。主要结果可以概括为 定理0.0.4设1<q,p<∞,b∈L~∞(R_+~1×R_+~1),(?)=(α_o,β_o)∈R×R,(?)=(α_o+α,β_o+β)。若Ω满足条件(0.0.5),其中K≥[α],J≥[β]。假设 当α,β>0时,Q∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1)); 当αβ=0且α+β>0时,Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×S~(m-1)).则存在与f无关的常数C>0,使得 定理0.0.5设1<q,p<∞,(?)=max{p,p/(p-1)},(?)=max{q,q/(q-1)},(?)=(α_o,αβ_o)∈R×R,(?)=(α_o-α,β_o-β)。假设Ω∈L~r(S~(n-1)×S~(m-1)),r>1。若0<α,β<(?),则存在与f无关的常数C>0,使得 定理0.0.6设1<q,p<∞,(?)=max{p,p/(p-1)},(?)=max{q,q/(q-1)},(?)=(α,β)∈R×R。若α∈(-μ_2,μ_1),β∈(-v_2,v_1)且满足-(?)<α<(?),-(?)<β<(?),其中σ满足条件: (i)‖(?)|σ_(s,t)|*f‖_(L~p(R~n×R~m))≤C‖f‖_(L~p(R~n×R~m)),(?) f∈S(R~n×R~m),1<p<∞, (ii)|(?)(ξ,η)|≤C min{|ξ|~(μ_1)|η|~(v_1),|ξ|~(μ_1)|η|~(-v_2),|ξ|~(-μ_2)|η|~v_1,|ξ|~(-μ_2)|η|~(-v_2)},对某个μ_i,v_i>0,i=1,2.则存在与f无关的常数C>0,使得 给出定理0.0.6的一个应用。设B(u,v)支集在[0,1]~2上且满足记和其中α,β∈R,Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1))满足条件(0.0.5)。我们很容易得到定理0.0.6的如下推论: 推论0.0.1设(?)同定理0.0.6中所定义的。假设Ω∈L~r(S~(n-1)×S~(m-1)),r>1且满足(0.0.5)。若α,β∈(?),则有其中C>0是与函数,无关的常数。 特别地,令B(u,v)=b(2~su,2~tv)_(χI)(u,v),其中I=[0,1]~2。令M_(s,t)(f)(x,y)=σ_(s,t)*f(x,y),则就是我们所熟知的乘积空间上的Marcinkiewicz积分算子。对于任意实数α,β,我们定义 推论0.0.2设函数b满足(0.0.9),其它条件同推论0.0.1,则有其中C>0是与函数f无关的常数。 第三章主要研究粗糙的极大强奇异积分算子T_(Ω,α,β)~*(α,β≥0)在乘积空间上的有界性。首先给出它的定义:对于所有的f∈S(R~n×R~m),其中b_1,b_2是径向的L~∞函数,Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1))且满足条件(0.0.5)。 当α=β=0时,我们把T_(Ω,α,β)~*简记为T_Ω~*,即为通常乘积空间上的极大奇异积分算子。我们简单回顾下其研究历史。1982年,Fefferman和Stein[51]用平方函数的方法证明当b_1≡b_2≡1,核Ω满足一定光滑性和消失性时,T_Ω~*在L~p(R~n×R~m)上有界,其中1<p<∞。1988年,Krug[60]用旋转法得到若b_1≡b_2≡1,Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1)),且Ω(-x',y')=-Ω(x',y')=Ω(x',y'),则T_Ω~*是L~p有界的。2002年,Wang在其博士论文[86]中证明在b_1,b_2∈L~∞,Ω∈L~r(S~(n-1)×S~(m-1))∩(0.0.5),r>1的条件下上述结论成立,以及当b_1≡b_2≡1,核Ω满足某类Grafakos和Stefanov核条件GS_3~*(γ)∩(0.0.5),γ>0时,对于p∈(?),T_Ω~*是L~p有界的。2006年,Al-Salman,Al-Qassem和Pan[4]将核条件减弱为Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×S~(m-1))。 本章进一步推广了上述结果,得到下述主要定理: 定理0.0.7设1<p<∞,α,β≥0,b_1,b_2∈L~∞(R_+~1)。若Ω满足条件(0.0.5),其中K≥[α],J≥[β]。假设 当α,β>0时,Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1)); 当αβ=0且α+β>0时,Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×S~(m-1)).则有其中C>0是与函数f无关的常数。 第四章考虑一类广义的Marcinkiewicz积分在乘积空间上的加权有界性。 1958年,Stein[76]首先在高维空间上定义Marcinkiewicz积分算子μ_Ω为其中Ω∈L~1(S~(n-1))是零次齐次函数且满足消失性条件 他同时讨论了此算子的L~p有界性的。而后许多作者深入研究了这一问题。1990年,Torchinsky和Wang[81]证明如果Ω∈Lip_γ,0<γ≤1,b≡1,则对于1<p<∞,μ_Ω是L~p(w)有界的,其中w∈A_p(Muckenhoupt权类)。1998年,Sato[75]将核条件减弱为Ω∈L~∞(S~(n-1))。1999年,Ding等[38]证明如果Ω∈L~r(S~(n-1)),r>1,且满足下列任一条件:对于r'<p<∞,w∈A_(p/r');对于1<p<r,w~(1-p')∈A_(p'/r');对于1<p<∞,w~(r')∈A_p,则上述结论成立。2002年,Duoandikoetea和Seijo[44]分别用不同的方法得到此结论。2004年,文献[62]的作者们证明若Ω∈H~1(S~(n-1)),则μ_Ω是加权有界的对于Duoandikoetxea[42]中引进的径向权RA_p(R~n)交上方体权A_p~I(R~n)。2008年,Zhang[102]引进一类新的径向权(?)(R~n)(RA_p(?)A_p~I),并证明用(?)取代RA_p∩A_p~I结论仍然成立。 本章我们将研究的一类广义的Marcinkiewicz积分算子μ_(Ω,α,β)(α,β≥0)定义为其中b∈L~∞(R_+~1×R_+~1),Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1))且满足条件(0.0.5)。 当α=β=0时,我们把μ_(Ω,α,β)简记为μ_Ω,这就是乘积空间上的经典Marcinkiewicz积分算子。2000年,Chen,Ding和Fan[14]在Ω∈L~r(S~(n-1)×S~(m-1))∩(0.0.5),r>1的条件下证明了μ_Ω的L~p(1<p<∞)有界性。2001年,Chen等[17]将核条件减弱为Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×S~(m-1))。2002年,他们在[18]中又改进了核条件。2005年,Al-Salman等[3],Wang等[87]和Li[65]都证明Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×S~(m-1))∩(0.0.5)时,结论成立。还有一些不同于上述核空间的研究结果。可以参看文献[1,64,100]。 关于单变量算子μ_(Ω,α)(α≥0)在齐次Sobolev空间上的有界性可以参考文献[91,58]。2005年,Jiang[56]继续研究,μ_(Ω,α,β)(α,β≥0)的有界性,结果如下: 定理0.0.8设1<p<∞,(?)=max{p,p/(p-1)}。若Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×S~(m-1))且满足条件(0.0.5),其中K>[(?)-1],J>[(?)-1]。则存在与f无关的常数C>0,使得 本章仍采用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论相结合的方法,应用乘积空间上权(?)(R~n×R~m)的性质,研究了μ_(Ω,α,β)的加权有界性。同时根据文献[12,96]中的思想,减弱了[56]中Ω的消失性条件。主要结果可以概括如为: 定理0.0.9设1<p<∞,w∈(?)(R~n×R~m)。令α,β≥0,b∈L~∞(R_+~1×R_+~1)。若Ω满足条件(0.0.5),其中K≥[α],J≥[β]。假设 Ω∈L~1(S~(n-1)×S~(m-1)),当α,β>0时; Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×S~(m-1)),当αβ=0且α+β>0时; Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×S~(m-1)),当α=β=0时.则有其中C>0是与函数f无关的常数。 最后一章我们主要讨论变量核参数型Marcinkiewicz积分的有界性。先给出一些定义。我们称定义在R~n×R~m上的函数Ω(x,y)属于L~∞(R~n)×L~r(S~(n-1)),r≥1,如果Ω满足下列条件: 1.Ω(x,λy)=Ω(x,y),(?)x,y∈R~n,λ>0, 2.‖Ω‖_(L~∞(R~n)×L~r(S~(n-1)))=sup_(x∈R~n)((?)(x,y')|~r dσ(y'))~(1/r)<∞,其中y'=y/|y|,(?) y∈R~n\{0}。又称Ω满足消失性条件 变量核奇异积分算子T_Ω定义为1948年,Mihlin在文献[69]中首先定义研究了这一算子,也可参看[70]。1955年,Calderon和Zygmund[8]研究证明了T_Ω的L~2有界性。1978年,他们又进一步研究了其L~p有界性。这类算子可以应用于求解变系数的二阶线性椭圆型方程。 本章将研究变量核参数型Marcinkiewicz积分算子μ_Ω~ρ,定义为 若ρ=1,简记μ_Ω~ρ为μ_Ω,即为变量核Marcinkiewicz积分。2004年,Ding,Lin和Shao[40]证明核Ω满足消失性条件(0.0.15),如果Ω∈L~∞(R~n)×L~r(S~(n-1)),r>(?),μ_Ω是L~2有界的,在L~1-Dini条件下是H~1(R~n)到L~1(R~n)有界的,在某类Dini条件下是弱(1,1)的,并且通过插值得到了μ_Ω的L~p(1<p<2)的有界性。文献[95]中得到μ_Ω~ρ的L~2有界性,在0<ρ<n,Ω∈L~∞(R~n)×L~r(S~(n-1))∩(0.0.15),r>(?)的条件下。Ding和Li[41]同样获得μ_Ω~ρ(0<ρ≤n/2)的L~2(R~n)有界性。2007年,Li在[66]中研究得到μ_Ω~ρ(0<ρ<n)是L~p(1<p≤2)有界的,在Ω∈L~∞(R~n)×L~∞(S~(n-1))且满足(0.0.15)和 本章将采用文献[27]的思想,获得向量值算子的混合模范数估计,从而得到μ_Ω~ρ的L~p有界性,其中Ω关于第二个变量是奇函数。此外,也进一步推广和改进了文献[40]中的一些结果。主要结果如下: 定理0.0.10设0<ρ<n,Ω∈L~∞(R~n)×L~r(S~(n-1)),r>(?)且满足条件(0.0.15)。如果Ω(x,y')关于第二个变量y'是奇函数,则对于1<p≤max{(?),2),存在不依赖于函数f的常数C>0,使得 定理0.0.11设O<ρ<n,Ω∈L~∞(R~n)×L~r(S~(n-1)),r>(?)且满足条件(0.0.15)和L~1-Dini条件。则对于1<p≤2,有其中常数C>0与函数f无关。


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