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子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究

赵恩涛  
【摘要】: 本文主要研究子流形上几何、分析与拓扑的若干问题,获得了局部共形平坦黎曼流形的整体刚性定理,球面中Clifford超曲面的几何特征,四维双曲空间中某些超曲面的分类,黎曼子流形的拓扑球面定理和微分球面定理以及在曲率积分拼挤条件下平均曲率流解的收敛性定理和关于时间的可延拓性定理等结果。 本文第二章研究了局部共形平坦黎曼流形的几何刚性.M.Tani[T]证明了具有正Ricci曲率和常数量曲率的紧致可定向局部共形平坦流形的万有覆盖空间等距于球面。成庆明,S.Ishikawa和K.Shiohama[CIS]给出了数量曲率和Ricci曲率模长都是正常数的3维完备的局部共形平坦流形的分类.最近,S.Pigola,M.Rigoli和A.G.Setti[PRS]在逐点的Ricci曲率拼挤条件下得到了空间形式的几何特征,并证明了当数量曲率为零时局部共形平坦黎曼流形的L~(n/2)拼挤定理。在第二章中,我们证明了当数量曲率为常数时局部共形平坦流形的L~p拼挤定理,改进和发展了S.Pigola,M.Rigoli和A.G.Setti得到的L~(n/2)拼挤定理,并将有关结果推广到数量曲率为非零常数的情形。 第三章刻画了球面中Clifford超曲面的几何特征.J.Simons[Si],H.Lawson[La],陈省身,M.do Carmo和S.Kobayashi[CDK]证明了球面中闭极小子流形的刚性定理。据此,陈省身先生提出了关于常数量曲率极小超曲面的陈氏猜想。彭家贵,滕楚莲[PT1],S.P.Chang[Cha1],杨洪苍,成庆明[YC1][YC2],Y.J.Suh,H.Y.Yang[SY]等先后研究了陈氏猜想。彭家贵和滕楚莲[PT2]进一步证明了关于球面中n维(n≤5)极小超曲面数量曲率的第二拼挤区间的存在性定理。最近,魏嗣明和许洪伟[WX]将彭家贵和滕楚莲[PT2]的结果推广到维数n=6,7的情形。在第三章中,我们研究了球面中一类闭的常平均曲率超曲面数量曲率的第二拼挤区间存在性问题,推广了彭家贵、滕楚莲、魏嗣明和许洪伟的数量曲率第二拼挤区间的存在性定理。 第四章给出了4维双曲空间中超曲面的几何分类。彭家贵和滕楚莲[PT1][PT2]曾研究了4维单位球面中闭极小超曲面的几何.S.Almeida,F.Brito,L.Sousa[AB][ABS],J.Ramanathan[Ra]等给出了4维单位球面中常Gauss-Kronecker曲率闭超曲面的几何分类。T.Hasanis,A.Savas-Halilaj,T.Vlachos[HSV1][HSV2]和成庆明[CH2]等研究了4维欧氏空间和双曲空间中完备极小超曲面的分类问题。在第四章中,我们给出了4维双曲空间中一类具有常quasi-Gauss-Kronecker曲率和常平均曲率的完备超曲面的几何分类,推广了T.Hasanis,A.Savas-Halilaj,T.Vlachos和成庆明等人的结果。 第五章证明了子流形拓扑球面定理和微分球面定理.运用球面中紧致子流形上稳定流的不存在性和广义Poincare猜想,H.Lawson和J.Simons[LS]证明了子流形的拓扑球面定理。K.Shiohama和许洪伟[SX3]证明的拓扑球面定理推广和改进了H.Lawson和J.Simons的结果。最近,付海平和许洪伟[FX]将拓扑球面定理推广到外围空间为双曲空间形式的情形。通过研究平均曲率流,G.Huisken[Hu1][Hu2][Hu3]得到了超曲面的微分球面定理。在第五章中,通过研究子流形的迷向曲率,我们证明了一般黎曼流形中子流形的拓扑球面定理,将常曲率空间形式中子流形的拓扑球面定理推广到外围空间为一般黎曼流形的情形。运用Brendle-Schoen的Ricci流技巧,我们首次证明了曲率拼挤条件下子流形的微分球面定理。我们得到的部分球面定理的拼挤条件是最佳的。 第六章研究了欧氏空间中闭超曲面的平均曲率流.G.Huisken[Hu1]曾证明欧氏空间中的凸超曲面必在有限时间内沿平均曲流方向收缩到一点,并获得了超曲面平均曲率流关于时间延拓的一个充分条件。最近,N.Sesum[Se]和B.Wang[W]用爆破(blow up)的方法证明了Ricci流的解关于时间的可延拓性定理。在第六章中,我们证明了在曲率积分拼挤条件下超曲面平均曲率流的收敛性定理和关于时间的可延拓性定理,发展和推广了G.Huisken,N.Sesum,B.Wang等人的工作。


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