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非线性方程求解的若干研究

唐培培  
【摘要】:本文主要研究了非线性方程求解中的一些问题,研究主要针对以下几个方面,这几个方面恰恰是研究非线性方程求解问题中非常重要的领域.一是在给定的一定量信息的情况下构造具有最大收敛阶迭代法;二是在一定理论框架下研究迭代法的半局部收敛性;三是研究迭代法对多项式的整体行为. 在研究迭代法的构造时,每一迭代步所用到的信息是一个很重要的关键,信息通常由前面一些迭代近似点上的函数值和导数值给定.我们先对信息加以筛选,给出了标准信息的定N(x_n~(sn),x_(n-1)~(sn-1),…,x_(n-l)~(sn-l);f)={f~((k))(x_j):k=0,…,s_j-1,j=n-l,…,n}.考虑到信息的获取是要付出一定的代价的,因而我们这里用到的信息是N(x_n~s,…,x_(n-l+1)~s,x_(n-l)~(s');f).qd商差表法是一种基于Pade有理逼近的求根方法,对于给定的标准信息,我们将Pade有理逼近进行了推广,得到了基于标准信息的有理逼近,这些有理逼近对我们构造迭代法很有帮助. 最高效的方法就是拥有最大收敛阶的迭代法,我们给出了两族具最大收敛阶的迭代法H_(p,s,f)和M_(p,s,f),它们分别是Halley迭代族以及M(?)ller法的自然推广,并且具有非常好的收敛性质.其中g(·)=1/f(·)且0<s'≤s,l≥0.则若x_i(i=-l,…,-1,0)与函数f的根z~*足够接近时,当n→∞时,两族迭代法产生的x_n收敛到与x_0最接近的函数f的根z~*,且它的收敛阶是多项式t~(l+1)-(?)-s'的唯一正实根. 上述两族迭代法是基于标准信息N(x_n~s,,…,x_(n-l=1)~s,x_(n-l)~(s');f)的具最高收敛阶的迭代法,我们利用代数组合学的基本工具Fa(?)di公式,部分Bell多项式以及对称群循环指标给出了H_(p,s,f)和M_(p,s,f)的显示表达式. 对迭代法性质的研究最主要的是研究它的收敛性行为,在本文中我们给出了迭代族H_(p,s,f)的半局部收敛性定理.我们是在区域B(x_0,r)上的算子类S_γ~((k))(Ω)中研究半局部收敛性的,函数f属于区域B(x_0,r)上的算子类S_γ~((k))(Ω)是指对于k是正整数,设0<r<(?),且f满足其中Ω:[0,(?)]→[0,(?)]在区间[0,r]上存在k阶单调递增的连续导数. 区域B(x_0,r)上的算子类S_γ~((k))(Ω)首先是由王兴华提出的,王兴华首先将Smale的解析条件弱化提出了弱条件,然后再进一步地,提出了更加一般的区域B(x_0,r)上的算子类S_γ~((k))(Ω),在这种算子类下,半局部收敛性仍存在普适常数b,而r_0满足只要函数f属于区域B(x_0,r)上的算子类S_γ~((k))(Ω),初始条件β=‖f'(x_0)~(-1)f(x_0)‖≤b,x_i∈B(x_0,r),i=-1,…,-l,迭代法就收敛并且有相应的误差估计.这里得到的常数b同王兴华已经证明的对Halley族以及Euller族普遍适用的常数是相同的,从而推广了普适常数的适用范围. 对大多数迭代法,例如Euler族和Halley族的迭代,当f是多项式时都是有理迭代,从离散动力系统的观点看,关于迭代法整体行为的首要问题是:是否存在一般收敛的单点定常迭代算法?McMullen在1987年否定地回答了这个问题,证明了当多项式的次数大于3时,一般收敛的定常迭代法不存在.同时他也给出了一个对三次多项式一般收敛的有理迭代,设p(z)=z~3+az+b,则对三次多项式一般收敛. 自然地,是否存在对次数小于等于3次的多项式一般收敛且能用来作为一般函数求根算子的有理算子呢?我们给出了满足这样条件的一个有理算子.为方便起见,设p(z)是一个第d-1次项系数为零的d次多项式,则我们证明了迭代算子T_p对二次、三次多项式一般收敛,而且对次数d≥4的多项式是二阶收敛的,对于非多项式函数d可以任意选取.进一步地,我们可以固定d=3,这时不管p是多项式还是非多项式,T_p是三阶收敛的.同时,迭代法T_p具有如下性质: 1.T_p(z)在复平面C上的不动点是超吸引的或排斥的,也就是说,p的所有单根是超吸引的,复平面C上的所有额外不动点是排斥的. 2.p的重数为n_i≥3的重根均为T_p(z)的排斥不动点,且乘子为1+(?).p的两重根不是T_p(z)的不动点. 3.当d≥4并且z~(d-2)项的系数不为0时,则∞是T_p(z)的一个吸引不动点且乘子为1-(?).因此,T_p(z)的Julia集是有界的.这一工作是对McMullen工作的重要补充


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