算子代数上约当导子和李导子的特征

【摘要】：近年来,算子代数中对ξ-Lie导子的刻画以及揭示ξ-Lie导子之间关系的问题逐渐引起了人们越来越多的关注和研究兴趣,也出现了很多研究成果,如:朱军证明了:(1)在强算子拓扑意义下,套代数中的每一个可逆算子都是一个全可导点[1];(2)上三角矩阵代数中的任一非零矩阵是全可导点~([2])。W . S.Cheung给出了三角代数上的每个Lie导子能够表示成该代数上的导子与到其中心的映射之和的充分条件~([3])。陆芳言和荆武证明了:B (X)上的线性映射δ,如果对满足AB =0的任意的A, B∈B(X)( AB = P,P为任一固定的非平凡幂等算子)都有δ([ A, B ])= [δ(A),B]+[A,δ(B)],则δ= d +τ,其中d是B (X)上的导子,τ是从B( X)到C的线性映射且当AB =0( AB = P)时,τ([ A,B])=0~([4])。张建华等人证明了:三角代数上的每一个约当导子是导子~([5])。陆芳言证明了:假设δ是从Banach代数到其双模上的连续线性映射,如果δ满足当AB为固定的左(或右)可逆算子时的导子方程,则δ是约当导子;如果δ满足当AB为固定的幂等算子时的导子方程,则δ是导子~([6])。最近,朱军,熊昌萍和张林又证明了:矩阵代数中的任一非零矩阵是全可导点~([7])。齐霄菲,侯晋川等人证明了:(1)可加映射L是可加(广义)Lie导子的充分必要条件是该可加映射是可加(广义)导子与从该代数到其中心的且零化交换子的可加映射之和;(2)可加映射L是(广义)ξ-Lie导子(ξ≠1)的充分必要条件是该可加映射L是可加(广义)导子且L (ξA )=ξL(A)~([8]);肖站奎,魏芬证明了:三角代数上的任一约当高阶导子是高阶导子~([9])。在以上研究成果的启发下,得到了本文的结果。本文共有五章,第一章是文章的绪论部分,主要介绍了文中涉及的相关记号与定义以及导子的国内外研究现状,最后论述了文章的内容及研究的目的和意义。第二章是在朱军,熊昌萍和张林的文章(见参考文献[7])的启发下,给出了约当可导和约当全可导点的第一种定义,主要得到了:矩阵代数M_K ( 2≤K≤n)中的每一个矩阵(G|~)是约当全可导点的充分必要条件是矩阵代数M_K ( 2≤K≤n)中的每一个可逆矩阵G_1是约当全可导点。第三章是在齐霄霏和侯晋川的文章(见参考文献[8])的启发下,给出了约当可导和约当全可导点的第二种定义,主要得到了:如果δ是三角代数上在点G =(?)处ξ-Lie可导映射,当ξ=1时,δ可表示成U上的导子δ_1与U上的线性泛函τ之和;当ξ≠1时,δ就是导子。第四章是在肖站奎和魏芬的文章(见参考文献[9])的启发下,主要得到了:设X是代数(?)中的左或右可逆算子且{δ_n}是一列从(?)到其双模的连续线性映射,如果对满足AB = X的任意的A,B∈(?),都有:δ_n (AB)=(?)δ_i(A)δ_j(B),则{δ_n}是约当高阶导子。第五章对本文进行了总结与展望,并指出了约当导子与李导子问题中的一些有待继续研究的问题。