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求解非线性方程的迭代算法研究

白晓燕  
【摘要】:在利用数学工具研究社会现象和自然现象,或解决工程技术等问题时,很多问题都可以归结为非线性方程f ( x ) = 0的求解问题,无论在理论研究方面还是在实际应用中,求解非线性方程都占了非常重要的地位。迭代法是求解非线性方程f ( x ) = 0根的一种最重要的方法,而迭代法的优劣对于非线性问题求解速度的快慢和结果的好坏都有很大的影响,所以从实际出发,进行高计算效能迭代算法的研究具有重要的科学价值和实际意义。 本文讨论了求解非线性方程的迭代算法研究,这里所说的迭代算法是指在Newton法基础上改进的算法。主要讨论基于Newton法的迭代函数,通过增加迭代、近似代替或增加参数,提出了一些新的牛顿法的变式,给出了实数范围内求解单根的迭代方法,并通过数值实验验证了新算法的有效性。全文共分为六章。 第一章概述了相关的基础理论,主要介绍了非线性方程的研究背景和求解非线性方程的常用方法—迭代法,详细回顾了Newton法及其研究现状。 第二章讨论了通过结合经典牛顿法与几何平均牛顿法,提出了一个新的求解非线性方程的六阶收敛算法。在每次迭代过程中只需计算两个函数值和两个一阶导数值,而且无需计算二阶导数。对一组普遍所采用的测试问题而言,数值计算表明该算法所需要的迭代次数和效率指数对大多数的问题都优于经典牛顿法和几何平均牛顿法。 第三章讨论在已有算法的基础上,提出了构造解非线性方程新算法的一种通用的框架,即综合利用各种不同插值方法的优点,通过令两个同阶的迭代式近似相等,将某一式子的近似值代入其它同阶的迭代式中,可以导出同阶收敛且具有自己特性的新的或已存在的算法,采用通用例子进行的数值实验表明新算法能与经典牛顿法媲美。而且,许多求解非线性方程的算法如著名的四阶收敛Ostrowski算法也可在此框架下得到。 第四章讨论了将已有算法的存在形式进行变形,可以归纳为统一的形式,通过增加参数得到了更一般的算法,收敛性分析证明在参数满足特定关系的条件下,将得到不同收敛阶的新算法或已存在的算法。 第五章从理论上阐述了两个加参迭代式的收敛性。 第六章总结了本文的主要结论,并对牛顿法研究的前景以及下一步的研究的动向进行展望。


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