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奇性函数Stancu算子加权逼近

高珊珊  
【摘要】:Bernstein算子是一类重要的线性算子,自1912年由Bernstein首次提出以来,Bernstein算子在逼近论及计算数学、神经网络等相关领域得到了很多应用,是研究其他算子的基础和有力工具,而本文研究的是Bernstein算子的更一般推广—Stancu算子。近些年以来,经过众多数学工作者不懈的努力,Stancu算子在性质和应用等问题上产生了大量的研究成果。1968年,D. D. Stancu在文献[1]中首次讨论了Stancu算子对连续函数的逼近,对多项式的各种性质及其推广等问题做了较全面的阐述和总结。1996年,薛银川在文献[2]中研究了Stancu算子和Stancu—Kantorovic算子的叠加对连续函数类的逼近。2002年,Zoltan Finta在文献[3]中对Stancu算子的正定理和逆定理性质进行了讨论和总结。在此之后,很多数学工作者对Stancu算子进行了更加广泛和全面的研究(参见[4],[5]等)。2006年,刘生贵、薛银川在文献[6]中对一元和二元的Stancu算子进行推广和讨论了其收敛性和收敛阶.进一步丰富了Stancu算子逼近的结论。 之前的研究结论对连续函数的Stancu算子逼近做了较为充分的讨论。论文从另一个角度,讨论Stancu算子对于不连续的函数,特别是区间端点和内部具有奇性函数的逼近性质。论文将对Stancu算子从区间端点和内部两方面对具有奇性的函数逼近进行研究。在区间端点上,先研究了Stancu算子在1时对具有奇性的函数的加权逼近,然后研究了Stancu算子一般情况下对具有奇性的函数的加权逼近。在区间内部,Stancu算子对具有奇性函数的加权逼近。 本文共五章,第一章介绍Stancu算子的发展及现状,以及论文相关的记号和一些常用的基本定理。第二章主要讨论了奇性的加权Stancu算子在端点的逼近估计的特殊情况(λ=1)。在这章中主要利用各种光滑模,K泛函,包括全局估计与点态估计,对连续函数、一次连续可微函数的逼近作出估计,本章得到了比较精确的控制常数。第三章主要讨论了奇性的加权Stancu算子在端点的逼近估计的一般情况(0≤λ<1)。在这章中主要运用新的方法和工具,结合分析技术,研究了奇性的加权Stancu算子在端点的逼近的一般情况的问题,得到相应的逼近定理。第四章主要研究Stancu算子对区间内部具有奇性函数的逼近性质,第五章对全文进行了总结,并对相关问题提出了展望。


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