多量子系统无退相干子空间及伴随阵的计算与控制

【摘要】：本文主要研究了与多量子比特系统的分析与控制相关的计算问题以及开系统的控制问题。对于与环境耦合的多量子比特开放量子系统,进行集体退相干时,存在一些不会发生退相干的状态,这些状态构成了无退相干子空间(DFS),且它的一组基可以由单线态组成。单线态是自旋为零的量子状态,即自旋量子数为零的量子状态。由此可知量子数对求解单线态起着重要作用,因而影响着DFS的计算。经过对DFS的分析研究,对于开放量子系统,通过构造Lyapunov函数,我们求得一组控制场,它们可以驱使开放系统进入DFS中的目标态。对于多自旋1/2量子系统,要将其密度算子的Liouville-von Neumann方程表示为坐标微分方程,伴随矩阵的计算是十分重要的,因此对三自旋1/2量子系统的几个伴随矩阵和反伴随矩阵进行了计算,并分析了这些矩阵的特性。本文的具体研究结果如以下三部分：第一部分：主要基于李代数g3的表示来研究自旋角动量的量子数。首先,列出了李代数表示论的一些基本定义和结论。其次,对李代数g3的表示中的定理作了复扩展,通过选取合适的不可约表示,根据已知的定理得出自旋量子数的取值,同时将结论运用到轨道角动量。最后,我们作了总结,给出所得结果。第二部分：对于进行集体退相干的K量子比特量子系统,本文提出了一个计算无退相干子空间的一般性方法；对于Lindblad半群公式下的开放量子系统,本文给出了它在DFS上的Lyapunov控制。根据Young tableaux,给出了SU(n)的Clebsch-Gordan分解,并且举了几个相应的例子。根据所得分解,可以得到DFS的维数。哈密顿公式和Lindblad半群公式下的DFS条件被分别列出。依据给出的条件,可以得到单线态,这些单线态张成了单线态空间,也即是要求的无退相干子空间。进行集体退相干的、与环境耦合的4态量子系统的无退相干子空间的计算被具体阐述。最后,对于开放量子系统,通过构造恰当的Lyapunov函数,得到一组实控制场,使得开放系统进入DFS中的目标态。第三部分：将关于密度算子的Liouville-von Neumann方程表示成坐标微分方程,伴随矩阵具有重要作用。对于三自旋1/2量子系统需要64个64×64的伴随矩阵来描述其坐标动态。基于已建立的多自旋1/2量子系统的伴随矩阵和反伴随矩阵的计算公式,本文给出了三自旋1/2量子系统的几个伴随矩阵和反伴随矩阵的算例。计算结果表明,这些64维的伴随矩阵和反伴随矩阵均是稀疏矩阵。通过计算将这些矩阵的非零元列举在表格中并讨论了非零元的分布。