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几个物理问题的对称性数学模型研究

赵丽  
【摘要】:非线性偏微分方程的研究领域非常广泛,是现代数学的一个重要分支。在理论或是在实际应用中,非线性偏微分方程可被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响,因而能更准确的反映实际。 在数学、物理、工程、生物等方面,非线性偏微分方程都有非常广泛的应用。而在求解实际应用模型时,由于非线性数学物理方程本身的复杂性,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,其求解没有普适的方法,各种方法的基本思想都是通过变换或分解,将复杂的方程简化。然而这些问题却可以通过对称性问题得以简便的解决。 本文旨在研究非线性偏微分方程以及非完整约束运动微分方程、机电耦合力学系统的对称性及其守恒量。 全文的第二部分将主要研究用Lie群理论求解一种类型的二维非线性扩散方程的守恒量及其对称性,对方程的变量进行无限小变换,得到了Lie群变换下的方程的确定方程,求解确定方程,得到无限小生成元,通过求解其特征方程,得出方程的Lie对称性相应的守恒量的形式;第三部分以二维的非线性薛定谔方程为列做了具体分析,研究了薛定谔方程在无限小变换群下的不变性,得出方程的守恒量;第四、第五部分分别研究了非完整约束力学系统和机电耦合系统的Mei对称性理论,直接导出系统新的结构方程和守恒量,并给出了应用例子。 本文有三个创新点:(1)应用Lie群方法建立了一种二维非齐次非线性偏微分方程的Lie对称性和守恒量理论;(2)应用Lie群方法研究非完整约束力学系统,给出了系统的Mei对称性和新型的守恒量;(3)建立了机电耦合系统的Mei对称性和新型守恒量理论。


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