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约束力学系统的一类新型绝热不变量

李状君  
【摘要】:约束力学系统的对称性是寻求系统精确不变量(也称守恒量)的重要方法,而守恒量在力学、物理学中又具有很重要的作用.摄动方法被广泛应用于数学、力学、物理学、天体力学等领域,不但有丰富的理论内容,还有非常高的实用价值.当约束力学系统受到小的扰动时,原有系统的对称性会发生微小的改变,我们称之为对称性摄动.随之,系统的守恒量(精确不变量)也会发生相应的改变,我们称之为绝热不变量.Hojman型精确不变量和绝热不变量的构造虽然仅仅依赖于Lie对称性生成元,但缺点是需要寻求结构方程的解,而结构方程的求解同时也是一个难题.因此,寻找一种仅仅依赖于Lie对称性生成元和系统自身内在性质的精确不变量和绝热不变量就显得格外重要.基于这个出发点,本文研究了经典力学四大基础力学体系的新型精确不变量和绝热不变量. 第一章:简要地介绍了约束力学系统的近代发展以及对称性摄动的研究进展. 第二章:研究了相空间中约束力学系统的一类新型精确不变量和绝热不变量.首先,对于相空间中的力学系统,在Lie群的一般无限小变换下,给出了Lie对称性确定方程,然后给出系统的新型精确不变量.其次,将这个结果应用到了Hamilton系统,给出了Hamilton系统的这类新型的精确不变量.然后,利用摄动理论,给出了相空间中约束力学系统的新型绝热不变量,同时将结果应用到了Hamilton系统,给出了Hamilton系统的这类新型的绝热不变量.最后,给出算例,说明这种理论的应用. 第三章:研究了广义Hamilton系统的一类新型精确不变量和绝热不变量.首先,对于广义Hamilton系统,在Lie群的一般无限小变换下,给出了Lie对称性确定方程,得到系统的新型精确不变量,同时对偶数维的广义Hamilton系统,给出一个重要关系式,利用这个关系式对这种精确不变量进行化简,以能更好地反映这种精确不变量和系统本身的内在联系.然后,利用摄动理论,给出了广义Hamilton系统的新型绝热不变量,当然也同时将偶数维的广义Hamilton系统的这个关系式应用到了这种新型绝热不变量.最后,给出算例,说明这种理论的应用. 第四章:研究了Birkhoff系统和广义Birkhoff系统的一类新型精确不变量和绝热不变量.首先,对于Birkhoff系统系统,在Lie群的一般无限小变换下,给出了Lie对称性确定方程,得到系统的新型精确不变量,同时对于Birkhoff系统,也给出一个重要关系式,利用这个关系式对这种精确不变量进行化简,以能更好地反映这种精确不变量和系统本身的内在联系.其次,利用摄动理论,给出了Birkhoff系统的新型绝热不变量.然后又将前面的理论推广到了广义Birkhoff系统,给出了广义Birkhoff系统的一类新型精确不变量和绝热不变量.最后,给出算例,说明这种理论的应用. 第五章:研究了非完整系统的一类新型精确不变量和绝热不变量.首先,对于非完整系统系统,Lie群的一般无限小变换下,给出了Lie对称性确定方程,限制方程和附加限制方程,得到系统的新型精确不变量.然后,利用摄动理论,给出了非完整系统的新型绝热不变量.最后,给出算例,说明这种理论的应用. 第六章:对本文的研究进行总结,说明本文的主要结果.并对这种精确不变量和绝热不变量的未来研究提出了一些有待解决的问题.


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