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离散Hamilton系统的对称性和守恒量研究

王性忠  
【摘要】:运用Lie群理论研究微分方程已经有很长时间了,像求解微分方程,分类微分方程,确定微分方程的解的空间性质等。近年来,Lie群理论又被广泛应用于研究离散方程,主要是差分运动方程和微分差分运动方程。本文应用变换Lie群方法研究离散非保守Hamilton动力学系统和离散非完整Hamilton动力学系统的对称性,并利用对称性分析方法寻求系统的守恒律。 对于离散非保守Hamilton系统,我们定义了系统的Hamilton作用量,提出了系统的变分原理,证明了全变分和等时变分的关系,得到了离散版本的Hamilton正则方程和能量演化方程。基于离散非保守系统的Hamilton作用量在无限小变换下的准不变性,得到了离散非保守Hamilton系统的Noether恒等式、,Noether定理和系统存在的离散版本的Noether守恒量。系统地建立了非保守Hamilton系统的Noether对称性理论。 在离散非保守Hamilton系统中,我们还引入变换Lie群,构造了相应变换Lie群的离散微分计算算符,基于系统的Hamilton正则方程和能量演化方程在无限小变换下的不变性,得到Lie对称性变换的确定方程,给出了Lie对称性定理,导出了系统存在的离散版本的的Noether守恒量。系统地建立了非保守Hamilton系统的Lie对称性理论。 对于离散非完整Hamilton系统,我们提出了离散形式的Hamilton作用量的变分原理以及全变分和等时变分的关系,得到了离散Hamilton正则方程和能量演化方程。基于离散非完整系统的Hamilton作用量在无限小变换下的不变性,得到了系统离散型式的Noether恒等式,离散非完整Hamilton系统相应完整Hamilton系统的Noether定理和离散版本的Noether守恒量,并进一步给出离散非完整Hamilton系统的Noether定理和系统存在的离散版本的Noether守恒量。系统地建立了非完整Hamilton系统的Noether对称性理论。 在离散非完整Hamilton系统中,定义相应变换Lie群的离散微分计算算符,基于正则方程和能量演化方程在无限小变换下的不变性,得到了离散版本Lie对称性变换的确定方程。提出了离散非完整Hamilton系统相应离散完整Hamilton系统的Lie对称性定理,进一步研究了离散非完整Hamilton系统的弱Lie对称性定理和强Lie对称性定理,得到了离散非完整Hamilton系统的离散版本的Noether守恒量。系统地建立了非完整Hamilton系统的Lie对称性理论。 本文的创新性在于利用变分原理推导出了离散非保守Hamilton系统和离散非完整Hamilton系统的正则方程和能量演化方程;利用变换Lie群理论系统地建立了非保守和非完整Hamilton系统的Noether对称性理论和Lie对称性理论。


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