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分数阶Birkhoff系统动力学基本理论的研究

彭旺  
【摘要】:分数阶算子的研究历史已经三百多年,数学家们建立了公认度较高的三种分数阶算子:Riemann-Liouville分数阶算子,Caputo分数阶算子和Riesz分数阶算子.从二十世纪八十年代开始,科学家发现自然界中存在着大量分数维的事实,这一发现大大调动了科学家探究分数阶微积分理论的兴趣.分数阶微分方程在动力学、非Newton流体力学、生物力学和生物物理学等诸多领域中得到很好的应用. 最近二十年,在分数阶动力学的研究方面分别建立了分数阶Lagrange力学、分数阶Hamilton力学、分数阶广义力学、分数阶非完整系统动力学、分数阶广义Hamilton力学理论.Birkhoff系统动力学作为经典力学中的一类重要基础力学体系,在大量的科学与工程问题中起着基础支撑作用.但是,分数阶Birkhoff系统动力学理论有待于建立,分数阶Birkhoff系统动力学的运动微分方程、梯度表示、积分方法、对称性、平衡稳定性和运动稳定性等理论有待于研究. 本论文建立了分数阶Birkhoff系统动力学基本理论,研究了分数阶Birkhoff系统的梯度表示、代数结构、Poisson积分、第一积分和积分不变量的构造方法以及平衡稳定性理论,并给出在实际问题中的应用. 第一章简要的介绍了分数阶动力学和Birkhoff系统动力学的研究历史与现状,归纳了本文所要解决的问题. 第二章简要的叙述了Riemann-Liouville、Caputo和Riesz三种不同分数阶导数的定义及其性质.根据Birkhoff系统的建立思想,利用变分法分别给出了Riemann-Liouville、Caputo和Riesz三种不同定义下的分数阶Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff系统动力学方程.利用本文的分数阶Birkhoff方法,构造了三个新型的分数阶动力学模型. 第三章基于Riesz分数阶导数的定义,探究分数阶自治Birkhoff系统是一个一阶梯度系统和一个二阶梯度系统的条件,并给出系统的梯度表示.作为其特殊情况,当α→1时,分数阶自治Birkhoff方程可以退化为整数阶自治Birkhoff方程,进而得到整数阶自治Birkhoff系统的梯度表示,并分别研究了两个分数阶Birkhoff系统是否是梯度系统的实际例子. 第四章研究了Riesz定义下分数阶自治Birkhoff系统的代数结构和Poisson积分,发现分数阶自治Birkhoff系统具有相容代数结构和Lie代数结构,证明了分数阶自治Birkhoff系统的Poisson积分定理.当α→1时,分数阶Poisson积分定理可以退化为整数阶Poisson积分定理.列举两个实例说明了分数阶自治Birkhoff系统Poisson定理的应用. 第五章研究了Riesz定义下分数阶自治Birkhoff系统的变分方程和积分不变量的构造方法.给出了分数阶自治Birkhoff系统的变分方程,利用分数阶自治Birkhoff系统的第一积分和变分方程,构造了分数阶自治Birkhoff系统的积分不变量.并举例说明本章方法的应用. 第六章研究了Riesz定义下分数阶自治Birkhoff系统的平衡稳定性.利用Ляпуиов一次近似方法和直接法,判别分数阶自治Birkhoff系统的平衡稳定性 第七章归纳总结了本文的一些研究结果,并对于分数阶Birkhoff系统动力学尚未解决的问题提出了一些建议.


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