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带有翻转的三维同宿环和高维异维环分支

曾清娟  
【摘要】:一直以来,国内外很多学者对同宿轨,异宿轨分支问题的研究有很大的兴趣.研究奇异轨道分支问题,具有重要的理论和实际意义.本文主要研究两类奇异环的分支问题:三维空间中的同宿环发生轨道翻转和四维空间中的异维环发生倾斜翻转,研究方法主要采用局部活动坐标架方法和Shil’nikov时间变换方法.所谓三维空间中的同宿环发生轨道翻转,即同宿轨正向沿着强稳定方向进入奇点.在奇点的小邻域内,我们利用局部线性化近似得到局部奇异流映射;在大范围内,利用局部活动坐标架和Melnikov积分建立正则流映射;复合奇异流映射和正则流映射得到Poincaré映射,进而得到分支方程.通过讨论分支方程,给出相应的分支结果,其中,包括1-同宿环分支存在曲面,周期解存在区域和不存在区域,1-同宿轨和周期轨共存区域,二重周期轨存在曲面,2-周期轨存在曲面.所谓四维异维环发生倾斜翻转,是指异维环中的第二根连接轨不稳定流形不满足强倾斜性质,具体指该流形正方向发生倾斜翻转.我们首先利用改进的局部线性化近似,在两个奇点的小邻域内分别建立奇异流映射;在大范围内,利用局部活动坐标架和Melnikov积分分别建立正则流映射;复合奇异流映射和正则流映射,建立Poincaré映射,进而得到两个分支方程.通过讨论分支方程,给出相应的分支结果,包括异维环小邻域内的保存曲面,同宿环的存在区域和不存在区域,周期轨的存在区域和不存在区域.


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