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几何代数框架下的并联机构自由度分析方法研究

柴馨雪  
【摘要】:机构是装备的骨架,自由度是机构的基本属性。对机构进行自由度分析以掌握其数目和性质是机械设计中的基本问题。以并联机构为代表的复杂空间多环闭链机构的自由度分析长期以来一直是机构学研究中的难点问题。本文在几何代数框架下,利用几何代数可以直接对不同维度的几何元素直接进行表达和计算的优势,对并联机构自由度分析问题进行了系统研究,全文主要工作和成果如下:给出几何代数框架下的刚体运动空间和力空间表述,并且根据两者之间的关系阐释了过约束机构中冗余约束的形成原因。冗余约束为不同分支运动链末端约束力空间的交集,然而其形成原因是运动空间中分支运动链运动空间的并集不是一个六维空间,这个并集对偶的直射变换就是冗余约束。提出了一种基于外积运算的线性相关项判别和剔除规则。利用当向量发生线性相关时其外积为零的性质,可对一组向量的线性相关性进行判别。并集运算中当出现线性相关项后可运用该规则将线性相关项剔除后再用外积进行运算,该规则对过约束并联机构自由度分析具有重要意义。提出了几何代数框架下的并联机构自由度约束求并方法,可得到并联机构动平台运动空间的符号表达式。该方法利用运动空间与力空间的映射关系,首先对分支运动链末端的运动空间求解约束力空间,再对所有分支运动链的约束力空间使用并集运算,得到动平台上的约束力空间,最后再通过正交运算得到动平台上运动空间。几何代数框架下的约束求并方法只涉及加法和乘法,不涉及除法运算,所以不需要对参数在分母时进行是否为零的讨论。提出了几何代数框架下的并联机构自由度运动求交分析方法,可得到并联机构动平台运动空间的符号表达式。运动求交方法对所有分支运动链末端的运动空间进行交集运算直接得到动平台上运动空间,与约束求交方法相比更为直观计算步骤和计算量明显减少。运动求交方法与约束求并方法的计算过程都不涉及除法运算,不需要对分母是否为零进行讨论,便于编程实现自动计算。为了与几何代数方法做对比,将Grassmann-Cayley代数用于过约束并联机构自由度分析。针对混序积无法对过约束并联机构分支运动空间求交集的问题,进行算法修正,从而可以通过计算得到动平台上的运动空间的符号表达式。基于Grassmann-Cayley代数的并联机构自由度分析方法同样可以得到动平台运动空间的符号表达式,但与基于几何代数的并联机构自由度分析方法相比较为繁琐。


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