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Poisson结构矩阵及其构造方法研究

王塞楠  
【摘要】:本文研究的问题与如下的n维广义Hamilton系统相关:或者简写为向量形式其中,H(x)称为系统(1)的Hamilton量,也是(1)的一个首次积分.n阶矩阵J(x)称为系统(1)的Poisson结构矩阵,满足下列两个条件: (ⅰ)反对称性: (ⅱ)Jacobi恒等式: 这类系统以经典的Hamilton系统为其特例(此时,n=2m,J为标准辛矩阵),它们是非线性动力系统研究中的一类重要系统,广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的众多领域,特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的许多模型都以这类系统或它们的扰动系统的形式出现.针对这类系统的理论和应用研究成果非常丰富,形成了很多成功的一般研究方法. 因此,对一个常微分方程定义的动力系统,寻求能将它表示成广义Hamilton系统形式的条件将是非常有意义的课题.也就涉及寻找合适的结构矩阵J(x)及首次积分H(x),这通常是一项具有挑战性的任务.因此,深入研究满足(2)和(3)的矩阵解J(x)是非常有意义的课题. 本文主要研究满足条件(2)和(3)的Poisson结构矩阵J(x)的性质及构造方法,获得了一系列求解和构造满足Jacobi恒等式的Poisson结构矩阵的新结果和新方法,这将有助于对广义Hamilton系统有更深的认识,为广义Hamilton系统理论的实际应用提供理论基础. 本文的主要内容由五章组成.第一章首先介绍其他学者在结构矩阵方面做的工作,研究中遇到的困难以及论文结构安排.第二章介绍了Hamilton系统的基本概念、重要性质及相关的理论方法.第三章是本文的主要内容,给出了三阶Poisson结构矩阵构造的几种新方法,并与前人所得的结果进行了比较分析.在第四章中我们讨论了四阶及大于四阶的结构矩阵,通过讨论结构矩阵的不同性质,给出了一些新的结构矩阵.在第五章我们讨论结构矩阵的合同矩阵是否仍是结构矩阵的问题,得出了两个新结论.


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