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若干一维细胞自动机动力学行为的复杂性研究

陈琳  
【摘要】: John von Neumann在1950年代提出的细胞自动机是一种时间、空间与状态都离散的数学模型。在型态表现上,每个细胞自动机都是一个离散型的动力系统。通过设计不同的局部规则,细胞自动机可以展现无限的多样性和复杂性,产生复杂的动态交互和自我复制现象。即使是规则最简单的基本细胞自动机,不仅具有丰富的动力学行为,又具有适合超大规模集成电路(VLSI)上实现的并行信息处理结构。细胞自动机自产生以来,就被运用于社会学、经济学、军事学和科学等不同领域。特别地,它为动力学系统理论中有关秩序、紊动、混沌、非对称、分形等系统整体行为与复杂现象的研究提供了一个有效的模型工具。 自从Stephen Wolfram号召对细胞自动机进行简化并提出了基本细胞自动机以后,众多学者在一维细胞自动机的理论和应用等多个领域作了富有成效的研究和探索,取得了一系列重要的成果。特别地,2002年Wolfram在大量的计算机模拟和经验观察的基础上创造性地称基本细胞自动机及其研究方法为一类新科学。随后,L.O.Chua教授等人借助树图(basin tree diagram)和细胞自动机特征函数等重要概念,结合他们的细胞神经网络的研究成果用非线性动力学的思想对Wolfram的计算机模拟结果给予了一系列数学上的刻画。 细胞自动机研究的困难在于“有关细胞自动机的任何一个非平凡命题都是不可判定问题”,这已经由计算理论所证明。因此必须对细胞自动机及其动力学行为分门别类进行研究。本文用符号动力学观点研究几类基本细胞自动机的动力学行为。首先,第二章在双边符号空间上提出了一种新的拟移位映射和拟子转移,并讨论了拟移位映射的动力学性质以及拟子转移与传统子转移的关系。进而,本章刻画了非加性细胞自动机规则11的符号动力学性质。即规则11在其定义的两个子系统上是拓扑强混合的,且具有正拓扑熵。因而,规则11在其子系统上具有Li-Yorke意义下和Devaney意义下的混沌。第三章则借助于树图和细胞自动机特征函数分析了鲁棒周期-1规则172、168、40以及鲁棒周期-2规则37的定性性质,发现它们也展现了非鲁棒Bernoulli移位特征。利用符号动力学的理论与方法,本章严格证明了这些规则都拥有混沌的子系统。本文的最后一章对全文作了总结和进一步研究的展望。


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