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几类全纯函数空间上的加权复合算子

韩秀  
【摘要】: 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果。 复合算子的研究是解析函数理论与算子理论相结合的产物。关于算子性质及应用的问题,早在上个世纪六七十年代,人们就对此有所关注。随后,人们又将其推广得到加权复合算子,这是一类非常重要的具体算子类。近几年来,对这类算子的研究引起了国内外诸多数学工作者的兴趣,到目前为止,已获得了许多较为深刻的结论。本文在前人所做成果的基础上,进一步讨论复合算子和加权复合算子的性质问题,对某些参考文献中的一些结果做了改进,并将其推广到更多的函数空间上,使得这类算子的性质更加完善。 这篇文章着重考虑,在单位圆盘上,几类全纯函数空间之间复合算子和加权复合算子的两种性质:有界性和紧性。我们主要应用算子、函数空间的定义以及范数的一些相关性质,并选取适当的辅助函数或测试函数,找到与这类算子密切相关的全纯函数u和全纯自映射φ所应满足的条件,从而得到复合算子和加权复合算子在各个不同的全纯函数空间上分别为有界算子或紧算子的充分必要条件。 本文一共分为三章。其中,第一章简要叙述了复合算子的研究背景、发展过程以及研究价值和意义,并将本文后面章节中所要考虑的函数空间做了简单介绍。第二章我们讨论复合算子C_φ和加权复合算子uC_φ的有界性。本章在三个小节中分别讨论了:BMOA空间到α-Bloch空间上加权复合算子uC_φ:BMOA→β_α、Besov空间到Bloch空间上加权复合算子uC_φ:B_(p,q)→β以及Besov空间到Zygmund空间上复合算子G_φ:B_(p,q)→(?)的有界性问题,得到了它们为有界算子的充分必要条件。 在第三章中,我们研究复合算子C_φ和加权复合算子uC_φ的紧性问题。本章在第二章所得结果的基础上,分别在相应的三小节中,讨论上述几个算子的紧性。通过寻找适当条件,利用复分析、泛函分析等学科中的一些性质定理,分别得到:BMOA空间到α-Bloch空间上加权复合算子uC_φ:BMOA→β_α、Besov空间到Bloch空间上加权复合算子uC_φ:B_(p,q)→β以及Besov空间和Zygmund空间之间的复合算子C_φ:B_(p,q)→(?)、C_φ:(?)→B_(p,q)为紧算子的充分必要条件。


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