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图的L(2,1)-标号及其算法

叶林  
【摘要】: 图的L(2,1)-标号来源于Hale所介绍的频率分配问题.设Z为非负整数集合.图G的一个k-L(2,1)-标号是映射φ:V(G)→Z,使得对任意x,y∈V(G),当d_G(x,y)=1时,有|φ(x)-φ(y)|≥2;当d_G(x,y)=2时,有|φ(x)-φ(y)|≥1.并称λ(G)=min{k|存在G的一个k-L(2,1)-标号}为图G的L(2,1)-标号数. 对于任何最大度为△(G)的图G,Griggs和Yeh猜想,λ(G)≤△~2(G).近年来,研究者围绕该猜想做了大量的工作,但进展缓慢,最新的界是λ(G)≤△~2(G)+△(G)-2.目前,关于图的L(2,1)-标号问题的研究大都集中在证明该猜想对某些特殊图成立. 本文首先总结了近些年图的L(2,1)-标号的主要结果和进展,然后对一些特殊图类做了研究: (1)研究仙人掌图G的L(2,1)-标号,证明了当△(G)≥5时,λ(G)≤△(G)+2.给出了△(G)=3,4时,λ(G)≤△(G)+2成立的若干条件,并刻画了△(G)=3,4以及λ(G)=△(G)+3的仙人掌图. 图G的线图L(G)的L(2,1)-标号实际上等价于图G的L(2,1)-边-标号.通常用λ'(G)表示图G的L(2,1)-边-标号数.本文从算法的角度研究了两类图的L(2,1)-边-标号. (2)对于△(G)=3的图G,本文给出了一个线性时间算法,能够在线性时间之内给出图G的16-L(2,1)-边-标号,从而得到了λ'(G)≤16的一个算法证明,这也说明了Griggs和Yeh的猜想对于最大度为3的图G的线图是成立的. (3)对于△(G)=△(L(G))=3的subcubic图G,本文给出了一个线性时间算法,能够在线性时间之内给出图G的9-L(2,1)-边-标号,从而得到了λ'(G)≤9的一个算法证明,这也说明了Griggs和Yeh的猜想对于这类图G的线图是成立的.


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