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两类随机变量序列加权和的收敛性质

何思思  
【摘要】:概率极限理论作为概率论的主要分支之一,是概率统计学科中极为重要的理论基础.经典的极限理论包括中心极限定理,大数律,重对数律等,相对于收敛性来讲,就是依分布收敛,依概率收敛和几乎必然收敛等.极限理论最初主要以研究独立随机变量为主,但是许多统计问题涉及到加权和的收敛性,在理论研究和实际应用中也更为广泛,所以对加权和的研究是非常重要的.本文主要讨论了两类随机变量序列加权和的收敛性质.一类是B值独立随机元序列加权和,一类是鞅差序列加权和.获得了如下结果. 1.研究了B值随机元序列加权和的完全收敛性.通过添加一个正的非减函数类上的函数,改进和推广了Qiu(2009)的结果.我们知道,完全收敛性是较a.s.收敛性更强的一种收敛性,自Hsu和Robbins于1947年引入完全收敛性的概念以来,在i.i.d.情形已解决得相当完美,如文献[1]、[33]等,Qiu(2009)在一定条件下得到了与NA随机变量加权和类似的p型Banach空间中B值独立随机元加权和完全收敛性结果.本文第二章考虑了更一般的情况,得到了一个更广泛的收敛性结果.文献中相应结果成为其特殊情形. 2.研究了B值随机元序列加权和的完全收敛性和大数律的等价性.利用Banach空间中的矩不等式、截尾法及对称化的相关理论,得到了B值独立随机元序列加权和的完全收敛性和大数律的等价性,将B值独立随机元序列完全收敛性和大数律的等价性推广到了加权和的情形Yang(1993)研究了2型Banach空间独立但不同分布B值独立随机元的完全收敛性Liang(2000)在一定条件下将其结果进行了推广,研究了B值独立随机元的完全收敛性和大数律的等价性,但却没有对加权和的相应情形进行研究.因此本文第三章在第二章的基础上进一步讨论了B值独立随机元序列加权和的大数律与完全收敛性的关系,得到了B值独立随机元序列加权和的完全收敛性和大数律的等价性,推广了Liang(2000)关于B值独立随机元的相应结果. 3.研究了一类鞅差序列加权和的精确渐近性.建立了一个关于鞅差序列加权和的矩不等式,并在此基础上受Hu(2001)的启发,获得了一类鞅差序列加权和的精确渐近性,将经典的Baum-Katz大数定律的精确渐近性从独立随机变量情形推广到了鞅差序列加权和情形下.近年来,许多学者对随机变量列的精确渐近性作了大量深入的研究,Gut和Spataru(2000)给出了独立随机变量列的精确渐近性,Mi(2005)将这一结果进行了推广,给出了PA列的精确渐近性.Tan(2008)给出了PA列生成线性过程的精确渐近性.而对于鞅差序列特别是鞅差序列加权和的研究相对较少,由于精确渐近性的研究关键之处就在于序列是否满足相关的矩不等式及相应的中心极限定理,因此本文第四章利用鞅差序列不等式及已知条件建立了一个关于鞅差序列加权和的矩不等式,并受Hu(2001)的启发,获得了一类鞅差序列加权和的精确渐近性,推广了独立随机变量列的精确渐近性结果.


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