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关于两类微分方程系统的反周期解

田龙伟  
【摘要】:在牛顿和莱布尼茨创立系统的微积分理论之前,人们在物理学的研究领域已经开始对微分方程展开了研究。最早最著名的就是伽利略在研究物体的自由落体运动的时候,发现了历史上的第一个常微分方程x=g, 并通过研究,求出了此方程的解为 这就是著名的自由落体公式。 随着牛顿和莱布尼茨创立了微积分,人们对微分方程的研究迈入了新的时代,随着多种多样的研究工具的使用,微分方程领域的研究取得了很多的研究成果,其中周期解的研究是其中最重要的方面之一。随着对微分方程的周期解研究的深入,人们逐渐发现了存在着一类和周期解不同但又有着千丝万缕联系的一种解-反周期解。真正对于周期解展开研究已经是上世纪八十年代的事情,经过几十年的发展,反周期解领域也用得到了很多的研究成果,也由此衍生出了相当多的研究工具,比较有代表性的有Leray-Schauder度理论,Leray-Schauder不动点定理和傅里叶分析法相结合,耦合上下解和单调迭代法,拓扑度理论和上下解理论等,它们的使用使得反周期微分方程理论获得了极大的发展。 本文对变参数的p-Laplacian中立型时滞泛函微分方程和具有分布时滞的Lienard方程进行了系统的研究。这两类方程是人们最近关注的比较多的方程,成果也比较多。本文利用Leray-Schauder不动点定理,对这两类方程进行了深入的分析,得到了相应存在的充分条件,使得这一理论更加的完善。 本文在第一部分首先介绍了反周期解研究的历史背景和国内外最近的研究成果,然后通过对反周期解的基本概念和理论的介绍,引入了要研究的系统,给出了研究得到的主要结论。 第二部分对一类变参数的p-Laplacian时滞泛函微分方程的详细研究情况进行了介绍,对结论进行了详细的理论阐明和推导。 第三部分给出了一类具有分布时滞Lienard方程的具体成果,对结论的合理性进行了详细的论证。 第四部分对本文的研究工作进行总结,并且给出部分需要进一步研究的问题,说明了研究此问题的前景。


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