辛几何理论和小波变换方法在波动方程高频近似中的应用

【摘要】： 本论文探讨了Maslov方法在波动方程高频近似中的应用及焦散区的具体求解方法；讨论了用小波变换化简二维非均匀缓变介质条件下的波动方程；本文还讨论了凹面反射的焦散现象、凹面反射焦散区的奇性种类，讨论了二、三维凹面反射波动场非焦散区、焦散区的计算方法。本论文的工作作为国家自然科学基金地震波传播与成像项目(NO. 40174032)的一部分，得到如下结果： (一)论文分析了利用Maslov方法求解非均匀介质中波动方程高频近似解的基本原理和求解过程，构造了介质系数只在一个方向变化时波动方程高频近似解的通用计算公式。通过引入波向量(慢度向量)，将物理空间中几何光学的射线问题转化为辛空间中的Lagrange子流形(超曲面)问题。由于出现焦散现象的原因在于Lagrange子流形在该处的切平面与物理空间垂直，通过转换适当的投影方向，然后将这个投影方向上得到的高频近似解再变换回到原来的物理空间中，得到了在焦散附近适用的高频近似解。文中还给出了计算实例。 (二)构造了利用小波变换简化二维非均匀缓变介质中波动方程的近似方法。利用小波变换在空间域和频率域上具有局部性的特点，通过小波展开，把二维非均匀问题转化为一系列一维非均匀问题，然后利用在(一)中得到的通用计算公式求解，大大降低了问题的复杂性和难度。 (三)深入讨论了凹面反射波动场的焦散现象、焦散区的几何结构与奇性的特点以及非焦散区、焦散区波动场的计算问题。论文主要包括三个方面：(1)分析了凹面反射的焦散现象，给出了不同凹面反射的焦散图；(2)分析了二维凹面反射波动场焦散现象产生的原因及焦散区奇性的种类，得出了二维凹面反射波动场焦散区奇性主要有折叠(fold)和尖点(cusp)两种的结论，利用辛几何方法构造了圆锥曲面反射波动场非焦散区和焦散区的通用计算公式，并给出了圆柱面、椭圆柱面及双曲柱面反射的计算结果；(3)分析了三维凹面反射波动场焦散现象产生的原因及焦散区奇性的种类，得出了三维凹面反射波动场焦散区奇性主要有折 叠（foM、尖点kusP和燕尾k）三种的结论，提出了利用辛几何方法计算 三维凹面反射波动场非焦散区和焦散区的计算方法，并给出了三轴不等椭球体凹 面反射波动场的计算结果剖面图。 论文还就今后所要开展的工作进行了分析和讨论。