非线性发展方程的系统求解方法及其精确解析解

【摘要】： 随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广泛存在着的非线性问题，越来越引起人们的关注，而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性发展方程来描述，因而如何得到它们的精确解对研究相关的非线性问题非常重要。至今比较成功的系统求解方法有散射反演法，Hirota方法，Bcklund变换法和齐次平衡法。 第一章介绍孤立子理论发展概况，详细推导了在非线性方程理论研究中具有重要意义的非线性波动方程KdV方程，并且研究了孤立子相互作用问题，分析表明孤立了碰撞以后形状保持稳定。 第二章介绍散射反演法，它的核心是将非线性发展方程转化为三个线性方程求解。本文运用此办法解决了KdV方程的初值问题，得到了单孤立子解、双孤立子解和N个孤立子解。 第三章介绍Bcklund变换法，它是建立不同方程解之间联系，或同一方程不同解之间联系的一种变换方法。本文应用这个变换方法分别建立Burgers方程和Sine-Gordon方程的Bcklund变换关系，并且得到了一些有意义的精确解析解。 第四章运用行波法，精确求解了KdV方程和Sine-Gordon方程。获得两种重要的行波解——周期解和孤立波解，并且定性分析了解的几何性质。 第五章对近年来发展起来的双曲正切函数展开法加以改进，采用新的变换函数，得到了KdV方程和非线性Klein-Gordon方程的一些新的孤立波解。其次，分别采用2001年提出的Jacobi椭圆函数展开法和本文由此扩展而来的双椭圆函数展开法，求解了一大类非线性发展方程，得到了一系列新的周期解。而且这些周期解在极限条件下可以退化为孤立波解，由此表明上述两种展开法是一种高效实用的方法。为了讨论了Jacobi椭圆函数展开法的适用性问题，我们最先引进“秩”的概念，指出只要非线性发展方程的各项的“秩”满足相同的奇偶性，就可以用这种展开法求解。最后介绍在椭圆函数展开法基础上发展而来的，利用Lam函数求解非线性发展方程多级近似解的方法，并且求解了非线性Schr dinger方程，非线性BBM方程，Zakharov方程，KP方程，Boussinesq方程和立方非线性Schr dinger方程等方程。