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矩阵的代数根

李媛媛  
【摘要】:矩阵方程已经成为矩阵研究领域的热点之一,其中,非线性矩阵方程在矩阵理论中占有重要地位.本文主要考虑矩阵方程X~m=A和X~2-2AX+B=0的解的有关问题. 矩阵方程X~m=A和X~2-2AX+B=0与数量方程x~m=a,x~2-2ax+b=0尽管形式接近,但是,在解的存在性、唯一性、以及解的结构和性质方面是有很大区别的,不能将数量方程x~2=a,x~2-2ax+b=0的相应结果简单地对应到矩阵方程上面来.比如,数量方程x~m=a在复数域内一定有解,且解的个数一定是有限个,但是,对于矩阵方程X~m=A而言,在复数域内不一定有解,即使有解,也不一定是有限个,如矩阵方程 的解是下列形式 数量方程x~2-2ax+b=0在复数域内的解x与a和b一定是可交换的,但是,对于矩阵方程X~2-2AX+B=0而言,在复数域内的解X与矩阵A、矩阵B不一定是可交换的;对于矩阵方程X~m=A而言,其非零解还有可能是幂零的,等等. 鉴于矩阵方程与数量方程的巨大区别,本文系统地考察了关于矩阵方程X~m=A和二次矩阵方程X~2-2AX+B=0的解的相关结论,在此基础上,得到了这些方程可解性的条件、解的唯一性的条件、以及解的结构,并且给出了求解的算法,得出了一个复方阵的奇异值与它的m次根的关系. 本文第一章为引言部分,就本文背景、国内外研究现状和相应的结果、以及本文所做的工作进行了概括性的描述. 第二章深入讨论了矩阵方程X~m=A的解的有关问题.介绍了关于此方面


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