图与超图理论中的谱方法
【摘要】：
本文主要用矩阵或张量的谱来刻画图与超图的结构性质,重点讨论三个问题：图的连通度和极端谱性质,给定团数或控制数的图的谱半径的下界和极图的刻画,超图的谱性质.
点或边连通度是度量图连通性的一个关键参数.记(?)nk和(?)nk分别为点连通度和边连通度为k的n阶图集.如何刻画(?)nk和(?)nk中的图的谱半径是我们的研究工作之一.本文刻画了(?)nk,(?)nk中图的邻接阵和无符号Laplace阵的谱半径的最大值和极图.作为结果的一个应用,我们解决了Aouchiche和Hansen的关于邻接矩阵谱半径和点／边连通度的一个猜想.此外,给定团数或控制数的图的邻接阵的谱半径上界已被给出,本文给出这两类图的邻接阵和无符号Laplace阵谱半径下界,并描述达到谱半径下界的极图的结构.
相对于图的谱半径,在过去的工作中图的最小特征值受到较少关注.一个主要原因是关于谱半径的技术路线已不再适用于最小特征值的讨论.当k≤n／2时,本文完全刻画了(?)nk,(?)nk中图的最小特征值的下界和极图.
最后我们从超图的关联矩阵出发,定义超图的邻接矩阵和无符号Laplace矩阵,类似于图的讨论,给出一些具有极端谱性质的超图结构.特别是我们引进了k-点(边)连通超图的概念,给出k-点(边)连通线性超图邻接阵和无符号Laplace矩阵的谱半径的最大值,以及邻接阵和无符号Laplace矩阵的最小特征值的最小值.最后应用张量的概念,用高阶超对称张量表示k-致超图,对k一致超图的张量谱,特别是张量谱半径进行初步的讨论.
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