用IWOP技术和纠缠态表象发展量子相空间理论

【摘要】：量子相空间理论从玻尔-索末菲量子化发展到Wigner提出的对应于密度算符的准几率分布函数W (q, p)，成为一个里程碑。W(q, p)避免了由于海森堡不确定原理（不能同时精确地测量微观粒子的位置q和动量p）所带来的不能定义(q-p)函数的问题，因此Wigner函数不是真正意义上的几率分布，但是Wigner函数的边缘分布分别给出在坐标空间和动量空间测量到粒子的几率，因此有广泛的应用。本文用有序算符内的积分技术（IWOP技术）以崭新的视角和方法研究量子相空间中准几率分布函数表示、重构、以及经典函数量子化、经典变换与量子幺正变换的关系等。主要内容如下： 一、利用IWOP技术揭示Weyl编序的实质，并在此基础上引入Weyl编序算符内的积分技术，明显地发展Weyl对应与Wigner算符理论，给出Wigner算符的Weyl编序函数形式以用于发展密度算符的量子相空间描述。在纠缠情况下，谈单个粒子的量子态没有物理意义，我们引入纠缠形式的Wigner算符来描写它，因为此时纠缠Wigner函数的边缘分布反映的是整个系统所处的态包含的纠缠性质。最后将Weyl变换推广到两模情形。 二、我们发现相干态在量子相空间的代表小面积的运动受量子刘维定理的支配，发现它对应于经典光学中的菲涅尔变换，从而可以定义菲涅尔算符，然后我们讨论菲涅尔算符与Wigner算符转动之间的关系。发现菲涅尔变换的积分核恰好是坐标-动量中介表象与坐标表象的内积，即找到了经典光学中菲涅尔变换的量子对应。作为应用，讨论菲涅尔变换与量子断层摄影理论的关系，以及其在求解哈密顿量本征函数中的应用。提出并构造双模菲涅尔算符，把以上讨论推广到纠缠情况。量子力学和光学的比拟最早有薛定谔指出，也是他发现薛定谔方程的思路。我们的理论符合薛定谔的思路。 三、在相空间引入一种新的积分变换（为了方便简称为新变换）并研究其相关特性。它良好的变换特性可用于研究Weyl编序和P?Q (Q?P)编序之间的关系，从光学角度看，利用此变换可以由―啁啾‖函数导出分数傅里叶变换积分核。对于纠缠情况我们也给出了这类新变换具体的讨论，并研究其相关性质与应用。我们期望能在光学上实现这一类新变换。 四、通过引入s参数化的Wigner算符，我们将IWOP技术推广到s-编序算符内的积分技术（IWSOP技术），它是一种综合了正规编序，反正规编序和Weyl编序的积分技术，并导出了密度算符的s-编序展开公式，讨论算符s-编序的本质，引入带s参数的新变换，并将量子光学中的光子计数公式推广到带s参数的形式，这些内容都极大地便利了对量子相空间理论的研究。最后是对双模情况下s参数Wigner算符及其s-编序展开公式的介绍。 五、利用IWOP技术我们将连续纠缠态表象推广到三粒子情形，研究其压缩、制备，并在此基础上引入三模Wigner算符以及对其在量子隐态传输、量子断层摄影理论中具体应用的讨论。最后，基于两个相互共轭的三粒子纠缠态表象，我们用两种方法得到了三模复分数傅立叶变换，并证明其具有群的乘法性质，通过定义三变量厄密多项式找到其本征模，最后是对其卷积定理的讨论。