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抛物方程时空凸解的常秩定理

胡波文  
【摘要】:解的凸性是偏微分方程研究中的一个重要领域.对于抛物方程的解,我们自然地想研究其时空凸性.建立解的常秩定理是偏微分方程中微观凸性方法的关键.然而,已有的抛物方程的解的常秩定理仅仅只考虑了解的空间Hessian (?)巨阵.本文针对抛物方程解的时空Hessian矩阵,利用强极值原理建立了欧氏空间中热方程时空凸解的常秩定理,并将该结果推广到黎曼流形和Kahler流形上,同时本文还给出了一般完全非线性抛物方程的时空凸解的常秩定理成立的结构条件.进一步,本文讨论了平均曲率流的时空第二基本形式的常秩性质.本文的主要结果列举如下: 欧氏空间中时空凸解的常秩定理 定理0.1.设Ω是Rn中的区域,u∈C3,1(Ω×[0,T))是热方程ut=△u的时空凸解.如果D2u在点(xo,to)∈Ω×(0,T)处达到极小秩,则D2u在Ω×(0,to]上保持常秩.进一步,记l(t)是t时刻D2u在Ω上的极小秩,那么对任意的0t1≤t2T有l(t1)≤l(t2). 定理0.2.设Ω是Rn中的一个区域,v∈C3,1(Ω×[0,T))是方程SVs+2△v十y·▽v-2v|▽v|2=0的时空凸解.如果D2v在点(yo,so)∈Ω×(0,T)处达到极小秩,则D2v在Ω×(0,so]上保持常秩.进一步,记l(s)是s时刻D2v在Ω上的极小秩,那么对任意的0s1≤s2T有l(s1)≤l(s2). 定理0.3.设Ω是Rn中的一个区域,F=F(A,p,u,x,t)∈C2,1(Sn×Rn×R×Ω×[0,T))满足结构条件: ⅰ) F(A,p,u,x,t)关于A椭圆; ⅱ) F(A-1,p,u,x,t)对任意的p关于(A,u,x,t)局部凸; ⅲ)对任意的常数C,ΓFC={(A,u,x,t):F(A,p,u,x,t)≤C}凸.又设u∈C3,1(Q×[0,T))是方程ut=F(▽2u,▽u,u,x,t)的时空凸解,则对任意时刻t∈(0,T),D2u的秩在Ω上为常数.进一步,记l(t)是t时刻D2u在Ω上的极小秩,则对任意的0t1≤t2T有l(t1)≤l(t2). 黎曼流形上热方程时空凸解的常秩定理 定理0.4.设M是具有非负截面曲率的紧致n维黎曼流形,且满足Ricci平行.又设u∈C3,1(M×[0,T))是热方程ut=△u在M上的时空凸解.如果D2u在点(xo,to)∈M×(0,T)处达到极小秩,则D2u在M×(0,to]上保持常秩.进一步,记l(t)是t时刻D2u在M上的极小秩,那么对任意的0t1≤t2T有l(t1)≤l(t2). Kahler流形热方程时空凸解的常秩定理 定理0.5.设M是具有非负全纯双截面曲率的紧致复n维Kahler流形.又设u∈C3,1(M×[0,T))是热方程ut=△u在M上的时空凸解.如果D2u在点(zo,to)∈M×(0,T)处达到极小秩,则D2u在M×(0,to]上保持常秩.进一步,记l(t)是t时刻D2u在M上的极小秩,那么对任意的0t1≤t2T有l(t1)≤l(t2). 平均曲率流的时空第二基本形式的常秩定理 定理0.6.设紧致超曲面Mt(?)Rn+1是平均曲率流(?)=-Hn。在(O,T)上的光滑解,且矩阵在M×[0,T)上半正定,则在M×(0,T)上,h的秩为n或n+1.进一步,若h在一点(xo,to)∈M×(0,T)处的秩为n,则对任意的0t≤to,h的秩在M上恒为n.


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