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若干全纯函数与调和函数空间的特征及相关算子理论

唐笑敏  
【摘要】:本文以多变量全纯函数与调和函数空间及其相关线性算子作为研究对象,主要研究函数空间的性质以及函数空间上线性算子的特性,并讨论与函数空间理论有着天然联系的蛋型域的全纯自同构群在原点的最大迷向子群的结构. 在第一章,我们简要地介绍了本文的研究背景及常用的一些符号、定义,列出了本文的主要结果. 在第二章,我们研究了多复变全纯加权Bergman空间Aω2(B)上的Schatten(-Herz)类广义Cesaro算子,其中B是Cn中Euclid度量下的单位球,ω是正规权函数.我们获得了用径向导数来表示的Aω2(B)的某种内积,由此找到了广义Cesaro算子与Toeplitz算子之间的内在联系,从而引入了广义Cesaro算子的Schatten-Herz类.进一步,我们刻画了Aω2(B)上的Schatten(-Herz)类广义Cesaro算子,发现它与Besov空间有着本质关联. 在第三章,我们研究了加权复合算子在几类多复变全纯函数空间之间是有界算子和紧算子的特征.对Cn中单位多圆柱Dn上的全纯Bloch型空间βμ(Dn)和小、Bloch型空间βμ,0(Dn),我们分别刻画了加权复合算子Tψ,φ:βμ(Dn)→βω(Dn)和Tψ,φβμ,0(Dn)→βω,0(Dn)的有界性及紧性.与此同时,对单位球B上的全纯Bloch型空间βω(B)和小Bloch型空间βω,0(B),我们分别给出了从βω(B)到H∞(B)空间和∞≧,0(B)到H∞(B)空间的加权复合算子是有界算子与紧算子的充要条件.此处,μ,ω均为正规权函数.这些结果使人们对上述函数空间之间加权复合算子的认识趋于完美. 在第四章,我们研究了几类多变量调和函数空间的等价范数.我们以B表示Rn中Euclid度量下的单位球.设HP,q,ω(B)与βω(B)分别为调和加权混合模空间及Bloch型空间,其中ω是正规权函数,0p,q≤+∞.我们使用径向导数、切向导数及偏导数来讨论这两类函数空间的性质,给出了Hp,q,ω(B)与βω(B)的等价范数.对单位球B上的κ次幂调和加权混合模空间与Bloch型空间,我们也获得了类似的结论. 在第五章,我们研究了多变量调和Bergman空间的原子分解定理.设Ω表示Rn中具有C∞边界的有界域.我们以某类积分算子为工具,证明了调(?)(?)Bergman空间bp(Ω)的原子分解定理,其中1p+∞. 在第六章,我们研究了蛋型域的全纯自同构群在原点的最大迷向子群的具体结构.设0p1…ps2q1…qt+∞,其中s,t为正整数.对蛋型域我们利用多复变的技巧给出了全纯自同构群Aut(Bp,q)在原点的最大迷向子群的显式表达.另一方面,从代数的视角出发,对蛋型域我们也获得了全纯自同构群Aut(Bp)在原点的最大迷向子群的显式表达,从而回答了代数学中关于Frechet空间(cn,‖·‖pp)(0p1)(?)(?)Banach空间(cn,‖·‖p)(1≤p≤+∞)的线性等距群是什么这一有趣的问题. 本文的研究工作丰富了多复变全纯函数空间和算子理论,深化了人们对蛋型域的全纯自同构群在原点的最大迷向子群的认识,并在复分析与调和分析的交叉研究上找到了结合点,拓宽了研究领域,具有一定的应用前景.


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