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量子态小波变换和若干表象变换

宋军  
【摘要】:量子力学表象变换理论是狄拉克在1926-1930年期间首先提出的,它是量子力学的数理基础之一,表象是解动力学薛定谔方程的有效“载体”,选择合适的表象有利于算符的对角化。正如狄拉克所指出的那样:“在解量子力学中具体问题时,一个人可以减少其工作量,如果他采用了某个表象,而在这个表象中问题所涉及的较重要的抽象量的表示式尽可能的简单” 本文利用算符正规乘积内积分技术,通过运用量子力学表象变换理论,特别是多种连续变量纠缠态表象,将常用于信号分析的小波变换与汉克尔变换推广到量子力学中,提出了量子力学小波变换概念,’并探讨其在鉴别量子态方面的应用,文中还研究了若干量子态的相空间特性(Wigner函数),通过以上的研究,发展了量子力学表象变换理论,并让我们对量子力学表象变换理论有了更新的认识。 本文主要做了以下三个方面的工作: 1、把量子力学表象变换理论应用于小波变换理论中,利用坐标表象和纠缠态表象构造出量子力学小波变换与复小波变换,小波变换算符与量子力学压缩平移算符相对应。在此基础上,给出构造母小波的方法,研究了几种量子态的量子力学小波变换特性。 2、把量子力学表象变换理论应用于汉克尔变换理论中,利用诱导纠缠态的性质,构造出量子力学汉克尔变换,在此基础上,探讨其应用。 3、利用纠缠态表象及Wigner函数在该表象下的表示,研究了双模压缩数态与Schwinger Bose实现下自旋相干态的相空间性质。 本文主要内容安排如下: 第1章,简要介绍量子力学中常用的坐标表象、动量表象、Fock表象、相干态表象、表象、纠缠态表象和正规乘积内积分技术及其应用。 第2章,将量子力学变换理论应用于小波变换中,在坐标表象中构造与小波变换对应的量子力学算符表示,给出量子力学一维连续小波变换的定义、压缩平移算符的正规乘积表示和寻找母小波的一般方法,在此基础上,研究了相干态、Fock态和二项式态的小波变换特性。 第3章,在纠缠态表象中构造复小波变换的量子力学算符表示,给出量子力学二维连续复小波变换的定义、压缩平移算符的正规乘积表示和寻找复函数母小波的一般方法,在此基础上,研究了双模相干态、双模Fock态与Bell态的复小波变换特性。 第4章,将量子力学变换理论应用于汉克尔变换中,利用诱导纠缠态表象的性质,构造与汉克尔变换相对应的量子力学算符表示,由此得到了一些量子力学汉克尔变换递推公式,并讨论了其在量子力学中的应用。 第5章,利用纠缠态表象及其Wigner函数在该表象下的表示,得到了双模压缩数态与Schwinger Bose实现下自旋相干态的Wigner函数表示,并研究了这两种态的Wigner函数分布特性。


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