非线性方程间断有限元方法误差分析以及后处理技术

【摘要】：本文对非线性偏微分方程(PDE)间断有限元方法(DG)的误差分析以及后处理技术进行了研究,内容主要由作者博士期间所有发表及提交的学术论文构成。 高阶非线性偏微分方程间断有限元方法误差分析的研究对象为两类强非线性四阶抛物型发展方程,即surface diffusion方程和Willmore flow方程。这是继Xu和Shu应用局部间断有限元方法(LDG)求解这两类方程后进一步的理论分析工作。应用局部间断有限元的前提为将这两类方程写成一阶方程组的形式,然后应用间断有限元方法的思想去设计数值格式,形式上将方程分解成线性和非线性两个部分。通过对非线性项的技术处理,最终得到了正交网格上L2-模意义下最优的误差精度阶k+1,其中k为间断有限元逼近空间多项式的最高次数。 后处理技术实为一种卷积作用,利用一个局部平均卷积核函数与偏微分方程数值逼近解做卷积。由于有限元方法求解偏微分方程所得误差以及误差的差商在负模意义下一般具有超收敛性,通过后处理作用理论上可以获得更高精度、更高光滑性的逼近解。本文主要将此后处理技术应用于线性抛物型偏微分方程和非线性双曲型偏微分方程的间断有限元方法当中。 针对线性抛物型偏微分方程间断有限元结果的后处理技术研究,本文选取多维线性对流扩散方程作为研究对象。通过对间断有限元方法所得误差的负模分析发现,误差在负模意义下的精度阶为2k+m,远远高于在L2-模意义下的精度阶k+m,其中m是与数值流通量有关的常数,取值为0,1/2或1。本文选取了恰当的核函数并对多维线性对流扩散方程的间断有限元数值解进行后处理,结果表明后处理所得误差在L2模下的精度阶可达到2k+m。该结论为随后的数值实验所验证。且本文的理论分析与线性抛物方程的连续有限元方法的后处理分析有着很大的不同。 将间断有限元方法的后处理技术从线性方程推广到非线性方程具有重要的意义,本文对此进行了第一次的尝试。本文以非线性双曲守恒律方程为模型方程。首先给出了合适的对偶方程,然后利用对偶论证得到了误差在负模意义下的精度阶2k+m。数值实验也进一步验证了光滑情形后处理结果可获更高精度。