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Clifford分析中几类函数的性质及其相关问题研究

谢永红  
【摘要】:在H.Grassmann代数的基础上,W.K.Clifford推广了“四元数”的概念,创建了一种可结合不可交换的代数结构,称之为Clifford代数.实(或复)Clifford分析主要研究定义在实(或复)欧氏空间上取值于实(或复)Clifford代数空间中函数的性质及其相关理论. 设Cln+1,0(R)(或Cln+1,0(C))是由{e0,e1,···,en}生成的2n+1维实(或复)Clifford代数空间,e(?)D=1是其单位元,且elej+ejel=2δlj(l,j=0,1,···,n),其中δlj是Kronecker符号.设Clo,n(C))是由{e1,e2,···,en}生成的2n维复Clifford代数空间,e(?)=1是其单位元,且elej+ejel=-2δlj(l,j=1,2,···,n). 本文首先研究了定义在Rn+1上取值于Cln+1,0(R)中的k-hypergenic函数与Clifford Mobius变换复合后函数的性质以及hypergenic拟-Cauchy型积分的边界性质和对偶的hypergenic函数的Cauchy积分公式;其次,研究了定义在Cn+1上取值于Cln+1,0(C)中的复k-hypergenic函数的几种等价刻画和Cauchy积分定理以及复k-hypergenic函数与复k-hypergenic调和函数的关系;最后,研究了定义在Cn+1上取值于Cl0,n(C)中的复k-超单演函数的等价刻画和Cauchy积分定理以及复k-超单演函数与复k-双曲调和函数的关系. 第一章简要介绍本文的研究背景和研究现状,给出重要的定义与符号,并且列出本文的主要结果. 第二章首先研究了Cln+1,0(R)中的Clifford Mobius变换,得到了与Clifford Mobius变换相关的几个重要定理,并且证明了一个k-hypergenic函数与Clifford Mobius变换的复合可以得到一个加权的k-hypergenic函数;其次,借助于hyper-genic函数的Cauchy积分公式得到了hypergenic拟-Cauchy型积分的Plemelj公式,再利用Plemelj公式证明了hypergenic拟-Cauchy型积分的Privalov定理;最后,给出了对偶的hypergenic函数的Cauchy积分公式,利用其证明了(1—n)-hypergenic函数的Cauchy积分公式,并且讨论了对偶的hypergenic函数的Cauchy积分公式中右端积分的性质. 第三章首先研究了复k-hypergenic函数的几种等价刻画;其次,利用Stokes-Green定理证明了复k-hypergenic函数的Cauchy积分定理,在此基础上给出了复k-hypergenic调和函数的Cauchy积分定理;最后,讨论了复k-hypergenic函数与复k-hypergenic调和函数的关系. 第四章首先研究了复k-超单演函数的一种与Cauchy-Riemann方程类似的等价刻画,虽然复k-超单演函数的乘积未必是复k-超单演函数,但是利用上述定理可以得到与复k-超单演函数的乘积相关的几个重要定理;其次,利用Stokes-Green定理证明了复k-超单演函数的Cauchy积分定理,在此基础上给出了复k-双曲调和函数的Cauchy积分定理;最后,讨论了复k-超单演函数与复k-双曲调和函数的关系. 本文的研究工作进一步丰富和完善了Clifford分析中的函数理论,深化了人们对Clifford分析的认识,在理论上和实际中都有一定的意义.


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