保几何结构算法在等离子体物理中的应用

【摘要】：哈密顿系统在物理理论中非常常见,其具有的长期保辛结构特性使得其具有很多守恒性、可以长时间稳定地演化并且不发散。这些守恒特性有助于我们讨论和理解物理系统的长期性质,并且更加有效地再现物理系统的本质。等离子体的四种常见的基本模型(单粒子、无碰撞动理论、理想双流体与理想磁流体)都是哈密顿系统。对于这些基本模型建立有效的算法以研究复杂的等离子体行为就显得尤为重要。然而传统基于直接对微分方程进行离散的算法一般会破坏这些哈密顿系统的保守特性,这使得这些算法在模拟长期多时间尺度的物理问题时经常会发散而得不到有用的结果,在20世纪80年代由我国著名数学家冯康及其学派提出的保辛结构算法正是为了解决这一问题。不过这一方法在等离子体数值模拟领域尚未得到广泛应用,这主要是因为等离子体模型多为无穷维非正则哈密顿系统,其保结构算法的构造相对困难。本文从保辛结构算法的理论出发,简要介绍了辛算法的特点及构造方法,归纳并总结了最新针对单粒子系统的保结构算法、并提出了针对Vlasov-Maxwell系统、理想双流体系统与磁流体系统的保辛结构算法。我们还选取了一些基本的物理算例来验证这些算法的正确性与长期保守性。对于带电粒子在已知外电磁场中运动的单粒子模型,由于其一般是一个有限维的正则哈密顿系统,所以现成针对此类系统辛算法的理论很丰富。我们首先利用成熟的变分辛方法构造了带电相对论性与非相对论性粒子的保辛结构算法,然后又利用最近新发现的一种哈密顿分裂法构造了针对这两种单粒子系统的非正则辛算法,最后选取了一个典型的Tokamak中带电粒子运动场景作为算例验证了这些算法的长期守恒性。Vlasov-Maxwell系统是用连续分布函数去描述的等离子体系统,其非常接近原始等离子体的带电粒子-电磁场系统,因此应用也非常广泛。然而由于它是一个无穷维的非正则哈密顿系统,一般而言其保辛结构算法难以实现。不过由于直接模拟离散的Vlasov-Maxwell系统其计算量太大,故一般人们使用大量粒子采样点的Particle-in-Cell方法去模拟Vlasov-Maxwell系统。我们先从粒子-电磁场的拉式量出发并离散与变分,得到了第一种实用的变分辛Particle-in-Cell方法。随后为了构造电磁规范不变(即电荷守恒)与高阶显式的Particle-in-Cell方法,我们创造了方网格多格Whitney插值形式,在此基础上利用离散外微分与哈密顿分裂法等先进的数学工具,实现了显式高阶电荷守恒非正则辛Particle-in-Cell格式。最后实现了相对论情况的变分与电荷守恒辛Particle-in-Cell格式。同样,我们也取了 X-Bernstein波色散关系与Landau阻尼这两个例子来验证这些算法的正确性与长期守恒性。双流体系统是一种将带电粒子视作带电流体的等离子体模型,在无耗散时是哈密顿系统。然而同Vlasov-Maxwell系统类似,双流体系统也是一个无穷维的非正则哈密顿系统。我们使用类似Vlasov-Maxwell系统构造辛算法的思路,从双流体系统的变分理论出发,用方网格多格Wlhitney插值形式、离散外微分以及哈密顿分裂法等方法构造了显式高阶电荷守恒非正则辛双流体格式。我们还用此方法计算与验证了双流体系统各种模式的色散关系以及双流不稳定性。理想磁流体系统是一种等离子简化模型,通过近似将高频的电子演化忽略,这样使得磁流体模型更加适用于低频问题。该模型是一个较双流体系统更复杂的非正则哈密顿系统。这是因为其演化除了保辛结构以外,还具有保磁场结构的性质(即磁冻结效应)。我们从欧拉网格具有约束的磁流体变分原理出发,离散得到辛磁流体算法,并用此验证了磁流体波的色散关系以及算法的长期守恒性质。本文中阐述的等离子体保结构算法实际上是对等离子体哈密顿模型的保辛结构近似。实际上根据辛算法的理论可知这些离散化的系统也是哈密顿系统,因而理论上也具有哈密顿系统的长期保守等性质,这是传统算法所难以企及的。这些具有优良性质的算法有助于我们更准确地模拟和预测等离子体的行为,了解等离子中的复杂物理图像。