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辛自正交码和辛LCD码的构造及其应用

许和乾  
【摘要】:本论文主要研究有限域和有限环上的辛自正交码和线性互补对偶(linear complementary dual,简称为LCD)码的构造问题,并探讨其在纠缠辅助量子纠错码(entanglement-assisted quantum error-correcting codes,简称为 EAQECCs)上的应用.主要内容包括:(1)第三章中,我们给出有限域Fq上辛自正交码的刻画,得到确定有限域Fq上辛自正交码的一个充要条件,并构造四类二元辛自正交码.此外,我们完全确定这四类二元辛自正交码的辛重量分布.(2)第四章中,我们给出有限域Fq上辛LCD码的刻画,提出有限域Fq上辛LCD码和辛LCD MDS码的几种构造方法.作为应用,我们利用Vandermonde矩阵构造一类辛LCD MDS码,并得到相应的MDS极大纠缠EAQECCs.(3)第五章中,我们研究环R=Fq2+uFq2上的Hermitian LCD码,其中u2=0.首先,我们给出环R上长为n的线性码C是Hermitian LCD码的充分条件,并证明不存在环R上长为n的非自由Hermitian LCD码.假设gcd(n,q)=1,γ为环R上的单位,我们得到环R上长为n的所有的γ-常循环Hermitian LCD码.进一步,通过引入Gray映射,我们得到Fq2上长为2n的辛LCD码,且其为环R上长为n的常循环码的Gray像.最后,我们通过利用环R上长为n的(1-u)-常循环Hermitian LCD码,得到一类极大纠缠EAQECCs.(4)第六章中,我们给出具有 Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman(NRT)度量的空间Matn,s(Fq)上的LCD码的概念,称之为NRT LCD码.这里的NRT LCD码是Euclidean LCD码的一种推广.我们给出NRT线性码成为NRT LCD码的充要条件,研究NRT LCD码的存在性,给出利用Euclidean LCD或者利用维数和长度较小的NRTLCD码构造NRT LCD码的方法.最后,探讨NRT LCD MDS码的构造.


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