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多复变数双全纯映照子族的性质及其之间的关系

徐庆华  
【摘要】:本文较系统地研究了多复变数双全纯映照子族的性质及其之间的关系。全文共分四章。 在本文的第一章,我们简要地介绍了本文常用的一些定义和记号,以及本文的主要结果。 在第二章,我们在复Banach空间中的单位球上和C~n中的有界星形圆型域上分别引入映照类(?)_g和M_g并考虑了零点的阶数(即x=0是映照f(x)-x的k+1阶零点),从而得到映照f(x)的增长、掩盖定理和齐次展开式的估计。作为推论,我们统一了以前关于星形映照及其子族、β型螺形映照及其子族的所有相关结果,特别地,从推论的证明中,我们可以更加清楚地看出星形映照子族之间、β型螺形映照子族之间的内在联系,而且也进一步地说明了最近在文[Fengl]中引入β型螺形映照子族的合理性。 在第三章,我们从Loewner链的角度给出了一类双全纯映照子族的解析特征。同时,我们在两类重要的有界凸圆型域上研究推广的Roper-Suffridge算子,证明了两种推广的Roper-Suffridge算子能嵌入Loewner链这一重要性质。作为推论,我们还证明这两种算子在对应的区域上都保持星形性、β型螺形性和α次殆星形性,从而为我们在两类重要的有界凸圆型域上构造星形映照、β型螺形映照和α次殆星形映照提供了有效的途径。 在本文的最后一章,我们在复Banach空间中的单位球上引入准凸映照的子族——α次准凸映照,建立了增长、掩盖定理,得到了它的齐次展开式第二项的估计,并在某些具体的复Banach空间的单位球上讨论了它与凸映照的关系。作为推论,我们也给出准凸映照的增长、掩盖定理以及齐次展开式第二项的估计。 本文主要工作的意义在于对已有结果的推广和改进。特别地,我们揭示了某些双全纯映照子族的本质联系,将许多已有结论在形式上进行了统一,使得一切都显得自然、明了。由此,我们对双全纯映照一些子族的性质及其之间的关系便有了一个全新的认识。


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