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Hardy不等式与某些含临界位势的椭圆型方程

陈志辉  
【摘要】:本文主要讨论Hardy(型)不等式以及含临界位势的椭圆型方程多重解的存在性,全文共七章。 第一章,建立了R~4中相应的Rellich不等式,证明了常数是最佳的,由此确定了临界位势。随后,利用临界点理论证明了含临界位势的非线性椭圆型双调和方程多重解的存在性,其中非线性项为次临界增长。 第二章,建立了含一般权的一维Hardy不等式,并证明常数是最佳的,利用变量代换的方法得到含一般权的L~2-恒等式,以此式进行递推便得到含任意有限个余项的恒等式。进而,建立了含任意有限个余项的一维Hardy不等式。随后,利用对称重排的方法,得到了含任意有限个余项的N维L~p-Hardy不等式,其中权为幂函数。最后,研究了N=p时,含临界位势的p-Laplace方程第一特征值问题,给出了第一特征值的渐进性态。 第三章,给出了使Hardy不等式成立的(左右两端)权函数之间的一个关系式,得到了含一般权函数的N维L~pHardy不等式,其中常数是最佳的。类似于第二章,通过变量代换得到了含一般权的N维L~2-恒等式,以此恒等式出发便得到含无穷多个余项的L~2-Hardy不等式,其中常数和权函数都是最佳的。此外,建立了含任意多个余项的Hardy-Poincaré不等式。最后,研究了含一般权及余项的L~p-Hardy不等式,但没能找到最佳常数。 第四章,建立了第三章中定义的新空间中的嵌入定理及嵌入紧性,并利用临界点理论证明了一类含(一般径向)临界位势和临界参数的非线性退化椭圆型方程多重解的存在性。 第五章,在迹非零的函数空间中建立了相应的Hardy不等式,此时要求Hardy不等式包含边界项积分,用类似于前两章的方法在迹非零空间中建立了含一般权及余项的Hardy不等式以及Hardy-Poincaré不等式。定义了一个新的Hilbert空间,证明了一类半线性椭圆型方程Neumann边值问题的可解性。 第六章,建立了含到边界距离的Hardy-Poincaré不等式,由此定义一个新的Hilbert空间,并得到该空间嵌入L~p空间的紧性结果。在新空间中,证明了半线性椭圆型方程Dirichlet边值问题多重解的存在性,其中非线性项为次临界增长。 第七章,简单研究了含临界位势p-Laplace方程特征值问题,N>p,通过直接定义的方法得到了特征值序列的存在性,并证明第一特征值的单重性及第一特征函数不变号。


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