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非线性人工边界条件

徐振礼  
【摘要】: 在科学和工程计算中,当数值求解无界区域上的偏微分方程的时候,通常需要引进人工边界将无界区域截断为有限的计算区域,同时在人工边界上设置合适的人工边界条件,从而将无界区域上的问题简化到有界计算区域上进行数值计算。人工边界方法在科学计算的许多领域里都具有非常重要的意义,比如弹性力学,流体力学,声学,电磁学,量子力学等等。近几十年来,大量的文献从各个方面对人工边界方法进行了广泛的研究,针对不同的问题设计人工边界条件,分析它的数值离散格式的稳定性和解的误差估计,从而使人工边界方法逐步发展成为除无限元方法,边界积分方法和边界元方法等方法外数值求解无界区域上偏微分方程的重要方法。 近些年来,人工边界方法的主要研究方向包括解析边界条件非局部算子的快速计算,高阶局部边界条件的构造,复杂区域和多维空间上的人工边界条件,以及非线性问题的人工边界条件等等。本文主要研究无界区域上非线性偏微分方程的人工边界条件,这一领域在当前尤其受到研究者特别的关注,由于大部分当前常用的研究技巧都只适合于线性问题,比如Laplace/Fourier变换和级数展开等,这些技巧通常不能直接推广到非线性情形,因而,对于非线性方程,必须寻找一些特殊的方法和技巧。本文在下列三个方面对无界区域上非线性偏微分方程的非线性人工边界条件的研究取得了进展: 首先,我们研究了非线性Schrǒdinger (NLS)方程的吸收边界条件,这也是本文的研究重点。NLS方程的吸收边界条件的构造近些年来受到了广泛的重视,近几年陆续提出了一些有效的处理方法,比如利用反散射理论来求解三次NLS方程和利用完全匹配层(PML)方法等等。本文着重于局部的吸收边界条件,在人工边界附近引入局部时间分裂技巧,然后对分裂后的线性部分引入Fourier变换,得到单向波传播方程。另一方面,对于线性部分,为了提高边界条件的精度,我们还引入了窗口Fourier变换的方法来捕捉边界附近的主要波数,从而使局部吸收边界条件能够自适应的随着波包的频域信息进行调节,达到比较理想的吸收效果。在这一部分的最后,我们还将这种分裂的吸收边界条件应用于激光与原子的相互作用领域。 其次,在第二部分讨论一些特殊的非线性方程的解析人工边界条件,我们将研究无界区域上Burgers方程和确定性的Kardar-Parisi-Zhang方程。通过应用Cole-Hopf变换,这两类方程可以与热传导方程相联系,因而采用构造无界区上热传导方程的技巧可以得到它们的准确非线性人工边界条件,所得到的人工边界条件为非局部的形式。对于Burgers方程,主要讨论一维问题,同时我们给出了等价的有界区域问题的稳定性分析结果。而对于后一类方程,我们分别给出了一到三维问题的人工边界条件的形式。 最后,本文将讨论人工边界条件在孤立子求解中的应用。在许多物理应用中,比如水波,希望得到孤立波解形式的解。求解这些问题都需要考虑特征值问题,而其实际上也是无界区的问题。在这一部分,我们只做了很基础的研究,以广义KdV方程为例数值求孤立子解,引出求解这类问题的主要思想。由于一般的广义KdV方程很难通过常用的解析工具求得孤立子解,所以称所得到的解为数值孤立子,我们同时利用这些数值孤立子研究它们之间的碰撞行为,从而可以了解一些非线性色散的机制。人工边界方法在最近三十年吸引了很多数学家和工程师的广泛关注,引申出了许多极具挑战性同时又非常重要的课题,包括超奇异积分的计算及收敛性,多维和复杂区域问题的人工边界条件,以及本文讨论的非线性问题。在这些问题中,有些技巧已日趋成熟并应用于实际的工程和科学计算,而有些则刚刚开始发展起来。由于非线性问题的复杂性,很多非线性波传播行为还很不清楚的,因而找到一种比较一般的方法求解非线性问题是很困难的。为了精确地计算无界区域上非线性问题,很多问题还有待进一步的研究。


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