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非线性方程的概周期性、概自守性及渐近性

丁惠生  
【摘要】: 本文主要讨论几类非线性方程的(拟)概周期解和(渐近)概自守解的存在性。同时,我们也研究了一类半线性双曲方程全局吸引子的存在性。本文共分为六章。 在第一章中,我们介绍了本文的研究背景和主要结果。 第二章是预备知识,主要包括概周期函数、拟概周期函数及概自守函数的概念和基本性质。此外,我们还简要介绍了C_0半群和发展系统的定义及相关术语。 第三章是关于非自治发展方程解的拟概周期性。在§3.2中,我们研究下述带有时滞项的非自治半线性发展方程 u′(t)=A(t)u(t)+f(t,u(t-h)),并且得到拟概周期解存在唯一的充分条件。在§3.3中,我们同样考虑一类非自治半线性发展方程,即 u′(t)=A(t)u(t)+f(t,u(t))。在不要求非线性项f满足Lipschitz条件的情况下,我们得到一个拟概周期解的存在性定理。 在第四章中,我们研究下述具有非局部初始条件的抽象半线性积微分方程在一些适当的假设下,我们建立了上述非局部问题渐近概自守解的存在性定理。 第五章是关于一些来源于传染病问题的非线性时滞积分方程。在§5.1中,我们考虑一种疾病的传播模型,即下述方程 x(t)=integral from n=t-τ(t) to t f(s,x(s))ds。首先,我们证明了一个混合单调算子的不动点定理。然后利用这个不动点定理,我们得到概自守正解的存在性定理。即使对于概周期的情形,我们的定理也推广了一些早期的结果。在§5.2中,我们研究一类中立型非线性积分方程 x(t)=γx(t-τ)+(1-γ)integral from n=t-τto t f(s,x(s))ds,并且得到一个上述方程概自守正解的存在性定理。作为推论,我们给出了概周期正解的存在性定理并且推广了已有的结果。 在最后一章中,我们处理一类半线性双曲方程:在没有对非线性项作Lipschitz假设的情况下,利用广义半流理论和半群理论,我们得到一些结果,其中包括全局吸引子的存在性。


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