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多复变数Bloch映照的偏差定理和典型域上的Bohr定理

王建飞  
【摘要】: 本文分两个主要部分:一部分是系统地研究了单位多圆柱、单位球和典型域上不同Bloch映照子族的偏差定理,进而得到了多复变数Bloch常数的估计.另一部分是我们采用新的观点推测了高维Bohr定理的形状,用新的方法建立了典型域上的Bohr定理.特别的,我们的定理在复平面C的单位圆盘时,其结论就是经典的Bohr定理.全文共分五章. 在本文的第一章,我们简要地介绍了本文常用的一些定义和记号,以及本文的主要结果. 在第二章,我们研究了典型域R_I(m,n)上一类Bloch映照子族的偏差定理和相应的Bloch常数的估计,我们的结果不仅包含了一些已有的结果,而且也得到了一些新的结论.特别的,我们推广和完善了由C.H.FitzGerald教授和龚升教授,D.Minda教授,X.Liu等在有关Bloch常数问题方面的工作. 在第三章,我们研究了单位圆盘中的双曲圆盘的从属原理,利用此从属原理我们得到了单位球和单位多圆柱上的Bloch映照子族的偏差定理.进而我们得到了更一般的结果,也推广和包含了一些已有的结论.利用偏差定理我们给出了映照族象域中包含最大的单叶球半径的一个下界估计.我们的结果把M.Bonk,D.Mind和H.Yanagihara关于单变量的结果推广到了多复变数. 在第四章,我们给出了单位多圆柱D~n上的全纯映照的Bonk偏差定理,利用此偏差定理我们得到了单位多圆柱D~n上的全纯映照子族的Bloch常数的估计.利用类似方法我们给出了D~n上的局部双全纯映照的Bloch常数的估计.我们的结果在单变量的情形就是Ahlfors相应的结论. 在本文的最后一章,我们推广了单复变数中经典的Bohr定理,我们得到了典型域上的Bohr定理,而且也得到了1/3是最好的常数.同时我们提出了一个问题,对于问题的两个非常特殊的情形我们得到了解决,但对于一般的问题目前还没有得到解决. 本文多复变数Bloch映照的偏差定理工作的意义在于对已有结果的推广和完善.特别地,我们揭示了某些Bloch映照子族的联系,将许多已有结论用统一的方法处理,丰富了多复变数的几何函数论.典型域上的Bohr定理的意义是给出了一种新的多复变数的Bohr定理的推广,我们的结论形式简洁优美,而且结论在单变量的情形就是经典的Bohr定理.


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