耦合动力系统中若干复杂性和非线性问题的研究

【摘要】： 近年来，随着非线性科学的发展，以及复杂性科学研究的兴起，耦合动力系统的集体行为已成为人们广泛关注的前沿问题。耦合动力学体系是指由许多动力学单元通过各种方式相互作用而形成的集体，因而它是一个复杂系统。耦合动力系统的复杂性主要体现在结构复杂性(如复杂的拓扑结构、空间无序等)和过程复杂性(如体系受到的内部涨落、环境涨落等)两个方面。这些复杂因素使得整个体系呈现出了丰富的动力学行为(如混沌、随机共振等)，以完成复杂的功能。然而，对于系统中的复杂性是如何与其非线性特性相互作用并调控体系的集体动力学行为，人们还没有得到统一的规律。本论文选择神经元体系和混沌化学反应体系作为研究对象，考察了在这些非线性系统中噪声及拓扑结构对体系的同步和相干行为的调控作用。我们的研究结果将会为更好地理解复杂耦合体系的动力学机制做出贡献。 噪声(内部涨落或环境涨落)可以在特定的场合下起到违反直觉的积极作用，近年来这已经成为非平衡统计与非线性动力学领域内的共识。这方面最突出的例子就是随机共振，是指体系输出的信噪比在特定的噪声强度下取最大值。其它的例子还有分子马达(布朗棘齿)，相干共振、噪声诱导相变、噪声增强同步等等，新的此类现象还在不断发现中。随机共振还有另外的一种推广的形式，即体系尺度共振。已经知道在耦合体系中，系统平均场感受到的实际噪声强度是受到参与耦合的单元的数目调制的；而且在单个体系中内噪声的强度与体系体积、面积等密切相关。因此体系的信噪比在特定体系尺度(耦合体系中的单元数目、单个体系的体积、面积等)下取最大值，这种现象被称为体系尺度共振。研究此类问题对于深入了解介观层次物理化学过程的动力学特性与统计特性有着重要的意义。 自然界中大量的复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述，耦合体系也不例外。复杂网络问题的研究由于在物理、化学及生命科学，尤其是神经科学中的重要意义而备受科学家的关注。对复杂网络的研究主要集中在如下两个方面：复杂网络的拓扑特性及决定网络拓扑的机理；网络中节点间的相互作用对其动力学的影响。已有的研究表明复杂网络的拓扑方式对体系的动力学行为起着至关重要的作用。 论文第一部分中，我们研究了耦合Hodgkin-Huxley神经元模型中外噪声或内噪声与耦合同时存在时体系的动力学，发现了体系尺度共振和双重体系尺度共振现象：存在最佳噪声强度的最佳数目的神经元耦合在一起可以使得体系的集体行为最为有序。(这方面的工作发表在ChemPhysChem和Physics Letters A上)。论文的第二部分我们研究了复杂网络的拓扑结构对神经元动力学的同步和相干性影响。我们发现随着网络中随机连接的增加，体系的同步会变得更好。我们还发现随机连接的数目存在一个最佳值，使得体系运动状态的时空规整度最好，也就是说适当数目的随机连接可以驯服混沌神经元网络中的时空混沌和诱导可激发神经元网络中的相干共振。(这方面的工作发表在ChemPhysChem、Chinese Physics和Chinese Physics Letters上)。论文的第三部分我们研究了耦合化学混沌振子中的内在的随机性对其相同步行为的影响。研究结果表明：内噪声能够增强体系的相同步，而且存在合适的内噪声强度，使得体系的相同步达到最佳。(这方面的工作发表在J. Phys. A：Math. Gen.上)。