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非线性退化抛物型方程解的存在性与正则性

招燕燕  
【摘要】: 本文研究了非线性退化抛物型方程弱解的存在性和正则性。对一般形式的非线性退化方程,我们在各向异性Sobolev空间中考虑了它的初边值问题,得到了弱解的存在性,我们使用的主要工具是紧致法。对两类应用广泛的退化拟线性方程,我们研究了它们的Cauchy问题弱解的存在性和正则性,并给出一些具体的例子,这里主要使用了粘性法和最大值原理。全文的组织如下: 第一章考虑了如下一般形式的拟线性退化抛物型方程的初边值问题 O.A.Ladyzenskajia和N.N.Uraleva早在上个世纪七十年代对上述问题在非退化的情形在通常的Sobolev空间做了充分的研究。她们在研究中给出了方程系数的单调性条件和可积性条件等,得到问题弱解的存在性。关于退化的情形,特别是强退化的情形,文献不多。鉴于实际问题中,特别是混合介质中的渗透,传导等扩散问题的需要以及在复杂介质出现的突变现象等,使得有必要考虑各向异性介质中的退化扩散问题,这就是我们在第一章研究各向异性Sobolev空间中退化拟线性抛物型方程的初边值问题的出发点。相对于O.A.Ladyzenskajia和N.N.Uralceva的工作,我们给出了各向可积性条件和强退化单调性条件,把她们的一致抛物型方程在各向同性Sobolev空间的工作推广到强退化方程在各向异性Sobolev空间的工作。我们得到的结果包含了后来某些退化方程的工作。本章的主要结论是 定理1.2.1如果α_i(x,t,u,p)和α(x,t,u,p)满足条件(A_1),(A_2)和(A_3),则对任意Ψ_0∈L_2(Ω),问题(1.1.1)在(?)_(m,2)(Q_T)中至少有一个解。 本工作发表在Acta Mathematica Scientia(数学物理学报B辑)(SCI),2006,26B(2):255-264。 在第二章,我们研究一个在反应扩散过程中具有较强背景的一类退化抛物型方程的Cauchy问题: 这个问题有很多数学工作者研究过。它的弱解的存在性也有人讨论过,给出的证明比较粗造,我们这里给出了详细的证明。关于这个问题弱解的正则性是我们的主要贡献。早在1990年,M.Bertsch,D.Passo和M.Ughi就证明了当空间维数N和参数γ取不同范围的值时,弱解有如下正则性结果: N=1,γ>0(?)u∈C~∞((?)) γ≥1/2N(?)u∈C((?))∩C~(1,1)(Ω) N≥2,0≤γ<1(?)u在(?)中不一定连续。 在2000年,陆云光和钱黎文在文献[36]中,推广了上述结果: γ≥(2N)~(1/2)-1(?)u关于x Lipschitz连续且关于t H(?)lder连续,H(?)lder指数是1/2。 由上述结果看出,问题(2.1.1)粘性解的正则性完全取决于参数γ和空间维数N。 本章的主要结果是把关于参数γ≥(2N)~(1/2)-1的正则性推广到γ≥(N-1)~(1/2)(显然(N-1)~(1/2)<(2N)~(1/2)-1)。这样,我们就进一步推广了前人的结果。就我们所知,这个结果目前是最好的。本章的主要结论如下: 在证明了问题的粘性解存在之后,我们有 定理2.2.1([24])问题(2.1.1)的粘性解u就是问题(2.1.1)的弱解。 定理2.3.1若u是问题(2.1.1)的粘性解,γ≥(N-1)~(1/2)(N≠10),且存在常数使得|▽u_0~(Υ(1+s/2))|≤M,则在R~N×[0,T]中问题的粘性解关于x是Lipschitz连续且关于t是H(?)lder连续的其指数是1/2。 这个正则性结果已经被美国的Nonlinear Analysis TMA(SCI)接受待发表,在该刊的网页上可以查到我们的文章(通过作者名字检索:Yan-Yan Zhao and Zu-Chi Chen)。 第三章我们对一个更有意义的,更具有一般性的拟线性退化抛物型方程,考虑了它的的Cauchy问题: 这是由于很多有意义的退化问题没有包含在第二章所讨论的方程之内,所以开辟第三章专门研究。我们得到了该问题的弱解存在性和弱解的正则性,即 定理3.2.1若β_2=β_1-1,β_1≥0,α_1(β_1-1)-α_2>0,α_1(β_1-1)-2α_2>0,则问题(3.1.1)的粘性解u就是问题(3.1.1)的弱解。 定理3.3.2假设α_1,α_2,β_1,β_2,u_0满足定理3.3.1中的条件,如果存在非正常数s≠-2使得 2α_2β_1-2α_2-sα_2+2s(s+1)α_1+Nα_1β_1~2≤0,则在R~N×[0,T]中,问题(3.1.1)的粘性解u(x,t)关于x是Lipschitz连续的且关于t是H(?)lder连续的,其H(?)lder指数是1/2。 从某种意义上讲,本章是第二章的推广,虽然我们仍然使用粘性法和最大值原理证明问题的弱解的存在性和正则性,但是在具体处理起来更为复杂,要求技巧性更高。而所得的结果包含了许多具体的有意义的问题,特别是包含了第二章,同时我们独立地给出了粘性解存在性的证明。所以说,本章是第二章的进一步发展。 所得的正则性结果已经发表在美国的微分方程电子快讯上,即Electronic Journal of Differential Equations,2007,No.15,1-6。


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