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两维Lotka-Volterra系统的拓扑分类及非自治/随机单调系统的全局性态

曹峰  
【摘要】: 本文对两维Lotka-Volterra系统的全局相图做了拓扑分类,并且研究了与强单调系统具有比较关系的几乎周期系统的渐近性态以及单调随机动力系统的全局吸引性.本文的具体安排如下: 在序言中,我们简要的介绍了Lotka-Volterra系统和单调动力系统的起源和主要研究内容,重点介绍了几乎周期系统、随机动力系统的研究进展以及单调动力系统全局性态研究的背景和现状. 在第二章中,我们首先研究了两维Lotka-Volterra系统有闭轨的充分必要条件,并给出了此系统的各种标准形式.然后,基于Poincar(?)紧致化,我们对系统的无穷远奇点做了分类,并具体给出了各类条件下系统无穷远奇点的性态.紧接着,利用系统有闭轨的充要条件的结果,我们讨论了系统有限奇点的性质.最后,基于对有限奇点、无穷远奇点性质的讨论以及向量场的分析,我们给出了系统全局相图的141种拓扑分类. 在第三章中,我们首先证明了在具有格结构的状态空间上,强单调序紧斜积半流在每一条向前轨道都具有紧闭包和一致稳定性的前提下,底空间的所有1-覆盖组成的集合限制在任一纤维上要么是一个独点集要么同胚于[0,1],[0,1),(0,1]或者R,并且这个同胚是序保持的.然后,在1-覆盖集同胚于R(在任一纤维上)时,我们研究了与此强单调系统具有比较关系的非单调几乎周期系统的极小集的性质,得出此极小集也是底空间的1-覆盖. 在最后一章,我们研究了单调随机动力系统的全局吸引性.首先,我们研究了拉回轨道的ω-极限集的基本性质,比如紧性、全不变性和F~u可测性,基于此,我们证明了如果单调随机系统的每一拉回轨道是预紧的,那么它的唯一平衡点是全局吸引的.然后,我们把结论应用到了一类子线性单调随机动力系统和Fisher型随机抛物方程,分别得到了它们的平衡点的全局吸引性.


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