基于Lyapunov稳定性定理的量子系统最优控制

【摘要】： 量子力学的建立开辟了人类探索微观世界的新道路。近年来,它已深入到人类生活的各个领域。量子系统控制作为一门新兴的学科,是为了更有效的操纵日益复杂的量子现象,从而更好的改造微观世界。目前这一学科已经成为国际研究热点,并且取得了很多成果。本论文回顾了量子系统的可控性及控制方法的发展及研究现状,重点研究了封闭量子系统的李雅普诺夫方法和最优控制方法。论文的主要研究结果如下: (1)在量子系统中利用被控系统的本征值,构造用来进行坐标旋转的幺正矩阵;通过幺正变换操作抵消系统每个状态所具有的局部相位,并选择变换后的被控状态与目标态之间的误差作为李雅普诺夫函数;在此基础上,基于李雅普诺夫稳定性理论,在保证被控系统稳定的前提下进行控制律的设计,给出了系统状态制备所需控制的详细设计过程,并对结果进行了对比分析;最后,在一个自旋1/2粒子系统上,采用本论文所提出的方法分别对本征态和叠加态的制备进行了计算机数值仿真,并对不同参数情况下系统状态演化时间与控制量之间的关系进行了分析。 (2)利用宏观领域中双线性系统的设计方法,结合纯态量子系统的数学模型具有双线性系统形式的特点,针对选定的被控系统的性能指标,并采用李雅普诺夫稳定性理论,提出了基于李雅普诺夫稳定性理论的量子系统最优控制策略,详细推导了最优控制律的设计过程。该方法的最大优点是不需要迭代求解。最后在自旋1/2粒子上进行了数值仿真,仿真结果验证了该方法的有效性。同时分析了不同参数的选择对系统控制效果的影响。 (3)提出了有限维量子系统混合态驱动的最优控制策略。分别考虑了两种不同情况:一种是目标态为能量本征值的统计非相干混合,该情况下目标态密度矩阵是对角型的;另一种是目标态密度矩阵的非对角元素不全为零,这种情况下,轨迹跟踪问题通过引入具有被控系统内部哈密顿量的所有本征值的幺正变换来转换成状态驱动问题。稳定参数可以基于李雅普诺夫稳定性定理来选择,并且证明了所提出的控制律的最优性。此外,在所提出控制律的作用下,分别针对由Morse振子模型描述的双分子系统以及自旋1/2系统给出了数值仿真。系统仿真结果表明控制策略是有效的。