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量子光学中与经典Fresnel变换对应的若干新幺正算符

谢传梅  
【摘要】: 经典光学(Fourier光学)的一个重要组成部分是Fresnel衍射(Fresnel变换)及关于衍射的Collins公式。我国学者范洪义等人首先用相干态表象研究了Fresnel衍射的量子对应,利用有序算符内的积分(IWOP)技术他们建立了一个量子力学Fresnel算符,以实现量子光学中的Fresnel变换,它与经典Collins公式相对应。自量子的Fresnel变换提出以来,它被广泛的应用于讨论经典光学与量子光学理论之间的关系,及与其他光学变换的关系。本文用量子光学的观点重新审视若干经典光学变换,采用的是压缩相干态表象和相干纠缠态表象,提出与经典Fresnel变换对应的新的量子光学中的若干幺正算符,如单模和双模广义Fresnel算符,Fresnel-Hadamard互补算符,并给出其物理意义。这些新幺正算符的经典对应给经典光学提供了新变换的可能性。这篇论文研究的出发点是基于如下的考虑:范洪义等人给出的Fresnel算符是通过相干态在相空间的一个代表点运动到另一点sz-rz*而导出的,这里ss*-rr*=1。根据相空间的直观分析,一个相干态对应于图形上面积为h/2的小圆。量子Fresnel变换表明相空间的一个小圆移动到另一个小圆。ss*-rr*=1保证了该变换是辛变换,同时也保证了刘维定理(相体积不变)的满足。考虑到相干态是压缩相干态中的一个特殊态矢,以及压缩相干态在量子光学和量子信息等领域的广泛应用,我们从压缩相干态在相空间的代表点(一个椭圆)的运动及用IWOP技术提出了广义Fresnel算符。鉴于量子纠缠的理论也渗透到量子光学中,我们又基于相干纠缠态表象,提出了一个Fresnel-Hadamard互补算符,它对一个光分束器的两个输出光场和分别起到了Hadamard变换和Fresnel变换的作用(该光分束器的两个输入光场光场分别为a1与a2)。 论文具体安排如下: 第一章,首先介绍本文工作的研究背景,然后介绍经典Fourier光学中的Fresnel衍射公式,以及在经典框架内介绍了衍射的Collins公式的推导过程。 第二章,为了建立起从经典到量子之间的”桥梁”,我们介绍了一些背景知识。首先介绍一些常见表象如坐标、动量、粒子数、及相干态等表象。然后介绍真正起到上述“桥梁”作用的有序算符内的积分(IWOP)技术的提出背景和内涵。 第三章,我们介绍了范等人从量子光学的相干态表象及用IWOP技术提出的与Fresnel变换对应的量子算符,称之为Fresnel算符。从相空间的直观分析,Fresnel算符对应于相干态在相空间的代表点(一个为面积h/2的圆)的运动变换。我们还简单介绍范等人从量子光学的双模相干态表象及用IWOP技术提出的与Fresnel变换对应的量子算符,称之为双模Fresnel算符。 第四章,我们从量子光学的相干压缩态表象及用IWOP技术提出了与Fresnel变换对应的量子算符,称之为广义Fresnel算符。从相空间的直观分析,广义Fresnel算符对应于压缩相干态在相空间的代表点(一个椭圆)的运动。 第五章,我们基于双模相干压缩态表象介绍了与双模Fresnel算符对应的双模广义Fresnel算符。 第六章,基于相干纠缠态表象,我们发现了一个Fresnel-Hadamard互补算符,它对双模光场a1与a2经过一个光分束器的输出光场和分别起到了Hadamard变换和Fresnel变换的作用。以上讨论表明,从量子光学的新表象和有序算符内的积分(IWOP)技术,可以找到新的光学变换。 最后,我们给出一些总结和展望。


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