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非参数回归函数估计的渐近性理论研究

彭小智  
【摘要】: 设(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),…,(X_n,Y_n)为从取值于R~d×R~1的总体(X,Y)中抽出的n个样本,若E|Y|<∞,则定义回归函数m(x)=E(Y|X=x),x∈R~d。如何由上述n个样本对m(x)进行估计,一段时间成了概率、统计界研究的热点之一。Nadaraya-Waston首次建议用核估计m_(1n)(x)。我国统计学家成平教授对回归函数的上述核估计作了改良,其优点在于对Y的矩不作其它要求,因此提出了回归函数的改良核估计(?)_(1n)(x)和改良的递推核估计(?)_(2n)(x)。Paul Algoet和LászlóGy(?)rfi提出回归函数基于分割的估计m_(4n)(x);而后,赵林城教授(2002)对m_(4n)(x)进行改良,利用截尾的方法构造改良基于分割的估计(?)_(4n)(x)。对以上回归函数的估计,许多学者已经在多种样本情形下讨论了它们的大样本性质,如,相合性、收敛速度、渐近正态性等。 凌能样教授(2004)在相依样本下证明了回归函数改良分割估计的强相合及收敛速度,(2006)在独立情形下证明了回归函数基于分割估计及其改良估计的渐近正态性,在此基础上本人给出了相依样本下回归函数基于分割估计的渐近正态性,并提出了改良的基于分割的递推估计,且分别在几何α-混合和i.i.d样本下证明了其强相合性和渐近正态性;同时经研究发现,混合相依较弱条件的α-混合样本下估计(?)_(2n)(x)的渐近正态性尚未有文献讨论,而α-混合样本性质在非参数回归估计理论中占有重要的地位,所以这就成为本文研究的第四个问题。


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