两类奇摄动微分方程初边值问题解的数值与渐近分析

【摘要】：奇异摄动理论及方法是一门应用非常广泛的学科,它是用来求解非线性、高阶或变系数的数学物理方程解析近似解的一种方法,目前的研究非常活跃且在不断拓展。它的主要任务是求含有小参数微分方程的近似解,而这个近似解是通过解一些与原方程有关的较简单方程中得到的,因此被称为解析近似解。用此方法可以对原数学物理问题进行定性或定量的分析和讨论。至今已逐步建立了许多行之有效的奇摄动方法,如匹配渐近展开法,多变量展开法,边界层函数法,V-L方法,PLK方法, WKB方法,补偿紧致方法,多重尺度法,KBM方法,平均变分法,不变域理论和对角化技巧等等。奇异摄动的各种方法已经被广泛应用于自然科学的各个领域,在解决实际问题中起到重要的作用,大量的动态数学模型都含有小参数,对非线性的复杂方程在无法求出精确解的前提下,求出一致有效的渐近解(近似解)尤其重要。在实际应用中,数值计算与渐近方法都是 求解近似解的有效方法,且相互补充。本文对含有小参数的微分方程初边值问题解的性质进行了研究,主要研究内容分述如下: 1、讨论了一类奇摄动反应扩散方程问题,在适当的条件下,首先求出原问题的外部解,然后利用多重尺度法和幂级数渐近展开理论,研究问题广义解的存在,唯一性及其渐近性态。 2、在适当条件下研究具有边界摄动的非线性反应扩散方程的奇摄动Robin问题,并运用微分不等式理论,讨论原问题解的存在性、唯一性及其一致有效的渐近估计。 3、讨论了一类非线性中立型奇异摄动微分差分方程初边值问题,并基于Shishkin网格,运用B-样条配置法和有限差分法对问题进行分析和计算并给出了近似解的误差估计。