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几类奇摄动微分方程边值问题的渐近分析

周倩  
【摘要】:奇异摄动理论及方法是一门发展了一个多世纪,内容极其丰富的学科.奇异摄动渐近分析中的各种方法在解决某些实际问题中得到了有效的应用.大量的动态数学模型都可归结为含有小参数的微分方程问题,对非线性、高阶或变系数的复杂数学物理方程在无法求出精确解的前提下,求出一致有效的渐近解(近似解)尤其重要。从某种意义上讲这种渐近解是介于精确解和数值解之间的近似解,既能进行理论分析,也便于数值模拟.用奇摄动方法可以对原数学物理问题进行定性甚至定量的分析,研究和讨论.如今已经逐步发展并广泛应用的奇摄动渐近方法有匹配渐近展开法,边界层函数法,微分不等式法,不动点原理以及相平面分析法等等. 本文对几类奇摄动微分方程边值问题进行了探讨,结构安排及主要内容如下: 1.绪论.介绍奇摄动理论的发展历史和奇摄动渐近理论中解决问题常用的方法简介以及本文的课题来源、研究意义和目的. 2.预备知识.阐述本文所要用到的方法和结论. 3.讨论一类非线性奇摄动问题,利用匹配渐近展开法,讨论了在Dirichlet条件和Robin条件下,方程的解在出现内部层和边界层现象时的情况,并且给出了相应参数的条件. 4.对一类n维向量边值问题进行研究,运用边界层函数法,构造了形式渐近解,应用向量形式的Nagumo定理,证明非线性奇摄动方程边值问题解的存在性,并给出余项估计. 5.运用边界层校正法和伸长变量,对一类具有边界摄动的三阶奇摄动边值问题进行了讨论,通过微分不等式法证明解的存在性,对构造的形式渐近解,证得了其一致有效,同时给出余项估计.


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