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有关图的零维数与二元秩的若干问题

郑甜甜  
【摘要】:在二十世纪八十年代Gustafson的理论证明的基础上,Fiedler和Markham首先建立了零维数的相关理论。后来Markham和Fiedler将抽象的理论转化为研究矩阵,使得这一理论在实矩阵和复矩阵中有所应用。自此,国内外学者对图的零维数进行了深入的研究,如对双圈图、树及单圈图的研究,并取得了一系列有意义的结论。 对于图的零维数的研究具有很好的化学背景,Longuet-Higgins指出一个二部图G(相应于一个交替烃),如果是奇异的,就意味着该图是不稳定的;并且这个问题对非二部图(相应于非交替烃)也是有意义的。另外,对二元秩的研究也取得了很大发展,秩与染色数有关,最大顶点数已被深入研究,这部分内容被VanNuffelen进一步论证к(G)≤rK2(G),к(G)是图的染色数。目前关于图的零维数和二元秩很多学者已进行了深入研究,但是目前仍存在如图的奇异性问题及非奇异图刻画问题仍然没有得到很好的解决。这些年来,有关图的零维数研究是十分活跃的,特别是目前针对于一些特殊图类和边数比较少的图,已经得到很好的解决。 本文重点针对以下几个主要问题展开研究:1、图的零维数,重点研究零维数为n-5的双圈图、细分图的零维数及带有悬挂点的树的零维数;2、图的邻接矩阵的二元秩,确定二元秩为2的图。图G的零维数是指图G的谱中特征值为0的重数,记为η(G),当η(G)0时,即A(G)为奇异阵时,我们称图G为奇异的,否则称图G为非奇异的。对于图的零维数研究范围较广,如对树、单圈图、双圈图的零维数零维数及其线图零维数的研究。对于二元秩的研究目前也已取得了很大进展,Godsil和Royle研究证明了к(G)≤2r+1,其中2r是图的二元秩。 本文组织如下:第一章给出本文所需的预备知识和研究背景;第二章给出零维数为n-5的双圈图,细分图的零维数,带悬挂点树的零维数;第三章给出二元秩的背景知识以及对于二元秩为2的图的研究。


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