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复杂弹性/孔隙介质中弹性波的数值计算方法及应用

庄明伟  
【摘要】:数值计算在理论研究、工程技术中占据重要的地位,已成为计算数学学科的一个重要研究课题。数值解的准确性、收敛性及其应用的高效性是衡量数值方法的重要指标。本文是基于时域有限差分和时域谱元法来求解弹性力学问题。通过数值计算的方法来研究波场在复杂介质中传播的物理机制。该数值方法不仅能准确地求解三维弹性问题,而且能结合超算平台来提高计算效率,在计算弹性力学领域具有极其重要的研究意义。本文的第一部分是使用时域有限差分求解柱坐标系和直角坐标系的粘弹性方程。首先将柱坐标系下粘弹性波方程用于声波随钻测井。由于柱坐标系方程中存在1/r项,因此在数值计算中将会遭遇到数值奇异性问题,即r = 0。本文提出一个简单高效的方法来解决数值奇异性问题。通过利用柱坐标系有限差分在极轴中网格的对称性,且方程在直角坐标系不具有奇异性,可将r = 0位置的奇异场从柱坐标系变换到直接坐标系中计算。再将直角坐标系沿着z轴进行旋转,就能完全解决柱坐标系下的二维或三维数值奇异性问题。因为在奇异点的场也是采用有限差分算法,所以场在奇异点的精度和稳定性由直角坐标系网格决定;其次,将MPI并行技术引入到直角坐标系有限差分中,来实现对大规模三维问题的数值计算。本文的第二部分提出一个完整的、全频率孔隙介质下的衰减模型。由于目前还未对孔隙介质中的粘弹性参数或粘滞系数所引起的衰减和耗散机制有更深入的认知,如固体颗粒和孔隙流对固体骨架的粘弹性耗散。本文将一个完整的孔隙介质衰减模型分解为粘动力衰减和骨架的粘弹性衰减。对粘弹性介质衰减,针对孔隙介质中的骨架模量、固体模量、流体模量和剪切模量引入相应的衰减因子。利用映射公式将具有物理意义的品质因数变换到适合数值计算的一组品质因数。对于粘动力衰减,本文考虑一个全频率范围的粘运动衰减模型,给出了高频区域中粘动力方程在有限差分中的离散形式。另外,本文也实现了对任意各向异性孔隙介质的数值模拟,分析波场在各向异性孔隙介质中的传播机制。本文的第三部分是将一种新的完美匹配层(Perfectly Matched Layered,PML)技术用于二阶波动方程。若在时域中模拟波场在无穷大空间传播时,标准的PML可直接用于一阶波动方法,但在二阶波动方程中需对控制方程重新构造。因此,有必要提出一种简单且实用的PML技术用于二阶波动方程。本文扩展一种新的PML(Nearly PML,NPML)到二阶波动方程,并分别使用谱元法和有限差分来验证NPML的吸收性能。其优势有:方法简单,NPML区域中的本构关系与计算区域完全一致,对任意介质都能实现阻抗匹配;计算效率高,通过引入一系列的一阶常微分方程来实现NPML技术;同时在数学上,NPML技术结合了二阶波动方程和一阶常微分方程用于衰减向外传播的波场,能有效的避免在NPML区域中对空间和时间的卷积处理。


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