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概率型算子逼近特征的研究和一类拟线性退化椭圆方程的边值问题

曾晓明  
【摘要】: 本文分为四章,系统地研究各类概率型算子列(族)关于连续函数、可微函数、有界变差函数、绝对连续函数等各种函数类的逼近特征性质;研究概率型算子族的单调性保持,Lipschitz函数类保持等分析和几何性质以及概率型算子族逼近另一类概率型算子的问题。并研究一类拟线性退化椭圆方程的第一边值问题。 第一章,§1.2建立了一系列重要逼近算子基函数的精确上界,这些基函数包括Bernstein基函数,Szész-Mirakjan基函数,Baskakov基函数,Meyer-K(?)nig and Zeller基函数,由上述算子构成的各类张量型算子基函数,以及单形上的Bernstein基函数和Meyer-K(?)nig and Zeller基函数等。本节的结果优于Guo[30,31],Wang[32],Gupta[33],Lové[36]等学者的结果。§1.3,§1.4综合运用概率论的方法和Bojanic-Cheng方法结合分析技巧研究一类Bézier型算子关于有界变差函数的点态逼近性质,得到精确收敛阶估计。这类算子主要包括Bernstein-Bézier型算子,Kantorovich-Bézier型算子,Durrmeyer-Bézier型算子。关于Bernstein-Bézier型算子B_(n,α),得到如下定理: 定理1.5 设f是[0,1]上的有界变差函数(f∈BV[0,1],若α≥1,那么对x∈(0,1)和n≥1,有 J nL)一 Nc十Ix<Z<乙 Df(t一f(一1、0<t<T 而A。是一个仅依赖于a的正常数. 我们还证明,式(A.1)和(A.2)所得到的收敛阶在渐近意义下已达最优;在(A. 1)中特取a=1时的结果优于 Ch6ng[10]的结果和 Guo与 Khan[151的结果.51. 5运用了新的方法和概率论工具,研究一类Be。nst。in概率型算子关于一般有界函数 的点态逼近问题,得到精确逼近阶估计.本节结果包含有界变差函数的结果作为特 例·引.6研究SzAs。算子和Beta算子关于绝对连续函数的逼近阶估计.得到最优渐 近估计·本节不但处理了比文献【26,281更广泛的函数类,而且把Bojanic和Khan【26] 一个重要结果中的估计阶O(。-‘)改进为精确逼近阶O(。-’/、把DavisI28]一重要结 果中的估计阶口(n-’/’)改进为精确逼近阶O(,;-’/’). 本文第二章引入一类广义的Feller-hotter型算子列L。,并系统地研究其逼近性 质.52.2得到了算子列L。关于连续函数和可微函数的逼近阶估计;接着52.3利 用控制函数的思想,研究了算子列L;。关于无界函数类口厂,g。,g。)的逼近性质,得 到了如下定理: 定理2.6 对任意的jEc汕,的,的),。〔11,则儿(f,1)收敛(一致收敛)于人x) 的充分必要条件是 Ln(g。(t)+tgZ(。),x)收敛(一致收敛)于 g。(。)+。g:(x)(s=a,b). 其中g。,g。是控制函数. 52.4建立了Feller概率型算子的局部饱和定理,并进一步应用所得到的结论, 建立了(CO)类算子半群概率表示的局部饱和定理.这个工作包含了FallgI49]的结果 为特例.52.5改进了 BajSSllski-Boj8I。iC抛物线方法并利用 PfeifeC[叫引理,建立了 一类广义的Feller-hott。r型算子的整体饱和定理. 第三章研究概率型算子列(族)逼近另一类概率型算子和概率型算子族的LIPS- cllit。类保持性质,53.2以S一人分布引入涵义较广泛kr。。stei。-Trotter概率型算 子,并研究其极限算子,建立其收敛阶估计,这类算子概括了Bernstein、B。kakov、 S。s。-Mira幻。n、Merer-K6nig and Zeller等经典算子.这一节的结果包含了 Caf。l。d L。lqllil。P6]的结果作为特例,53.3,53.4转向研究二元概率型算子,主要在常见的某 I二 些角形域上讨论问题.利用随机向量我们分别构造了所述区域上的Lunas-Baskakov 算子族,SzAs。-mirakjan算子族和Gamma算子族以及一些进一步的复合型算子族. 综合逼近和概率论的方法,我们较系统地研究了这些算子族的逼近性质,得到其极 限算子和相应的收敛阶估计.53.5运用概率论的技术和方法结合算子逼近论的技 术研究了许多新型的多元概率型算子的Lipschit。类保持性质.特别是成功地证明了 H元非张量型的Baskakov型算子和SzAsz型算子具有Lipschitz类保持性质.并在一 定条件下证明了逆命题. 第四章讨论如下形式的拟线性退化椭圆方程的第一边值问题: 八A(。,。)+二二l、+c(。,x)== 0.在0内,(B·1) 。(。)=0 在*0上,旧.幻 式中0 C R。是一光滑有界域 off 6 C’””,A。(tL,。)三 0. 流体动力学中的许多问题,渗流理论,以及其它领域的问题都可导出形式为 旧.I)的具非负特征形式方程(见山)·由于方程*1)具有退化性,一般说来 它没有古典解,解也不一定真正满足边界条件(B.2)(见u).本章在一定条件下证


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