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Banach空间上Lipschitz映射的可微性

阮颖彬  
【摘要】: 本文主要研究无穷维Banach空间上Lipschitz映射的可微性,证明了对每个从Hilbert空间H到R~n的Lipschitz映射f都存在H的稠G_(δ~-)子集F,使得 ⅰ),在F上点点Fréchet可微;ⅱ)Fréchet微分映射df在F上连续;并且,ⅲ)F可选择为H上的某个Lipschitz凸函数的Fréchet可微点集,这结果不仅完全解决了关于Hilbert空间上Lipschitz映射Fréchet可微性质的长期以来的open问题,也肯定回答了Lindenstrauss-Preiss问题:可分Hilbert空间到R~2中的Lipschitz映射是否存在Fréchet可微点呢?同时也是Lebesgue-Rademacher定理的一个本质的改进:有限维空间之间的Lipschitz映射在某个测度为零的第一类型集外是C~1映射,即有连续的微分映射。 上述结果的证明所依赖的主要工具是:Lipschitz函数的△-凸函数逼近性质和Lipschitz函数空间中序列弱收敛性质,关于这两课题本文得到如下两个主要结果: 在具有局部一致凸等价范数的Banach空间上,本文证明了其对偶空间上的每个ω~*-下半连续Lipschitz凸函数被一列单调递增且在稠G_δ集上Fréchet可微(即广义Fréchet可微)的ω~*-下半连续Lipschitz凸函数序列一致逼近,而在Hilbert空间上探讨了每个Lipschitz函数能被一列‖·‖L_0-有界的Lipschitz△-凸函数序列按上确界范数逼近; 在Lipschitz函数空间的对偶空间上,我们建立了Choquet定理的一种推广形式,而获得Lipschitz函数空间中序列弱收敛的判定准则:设Ω为Banach空间X的非空子集,有界序列,及f∈L_0(Ω),若则. 为了研究Lipschitz映射的Gǎteaux可微性,我们引入了具有广义G-列紧性Lipschitz映射的概念,证明了每个从可分Hilbert空间到具有Schauder基的Banach空间中的Lipschitz映射f其Gǎteaux可微点集是剩余集的充分必要条件是f具有广义G-列紧性.


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